高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时用空间向量研究直线平面的垂直关系训练提升新人教版选修1

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系课后·训练提升基础巩固1.已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于()A.-2 B.2 C.6 D.10答案:D解析:因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=0,即-6-4+m=0,解得m=10.2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),若α⊥β,则x的值为()A.10 B.-10 C.12 D.-答案:B解析:因为α⊥β,所以a⊥b,所以a·b=-x-2-8=0,解得x=-10.3.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)答案:C解析:由题意知,AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),AP=(x,-1,z).因为PA⊥平面ABC,所以AP·AB故点P的坐标为(-1,0,2).4.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是()A.直线A1D与AB1垂直B.直线A1D与BC1垂直C.直线A1D与BD1平行D.三棱锥A-A1CD的体积为16a答案:BD解析:以D为原点,以DA,DC,DD1的方向分别为x建立空间直角坐标系(图略),则A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),B(a,a,0),D1(0,0,a).对于A,∵A1D=(-a,0,-a),AB1=(0,∴A1D·AB1=-a2≠0,∴直线A1D与AB1对于B,∵BC1=(-a,0,a),∴A1D·BC1=(-a,0,-a)·(-a,0,∴直线A1D与BC1垂直,故B中结论正确;对于C,∵BD1=(-a,-a,a),∴A1D·BD1=(-a,0,-a)·(-a,-a,∴直线A1D与BD1垂直,故C中结论不正确;对于D,三棱锥A-A1CD的体积为13×12a2·a=16a3,故D中结论正确故选BD.5.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.位置关系不确定答案:B解析:如图,以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设AD=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),所以DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).因为PQ·DQ=0,PQ所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,即PQ⊥又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为.

答案:π解析:由题意得OP⊥OQ,∴OP·∴cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.∴2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=12又x∈[0,π],∴x=π2或x=π7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.

答案:-解析:由已知得,AB=(-1,1,0).设M(x,y,z),则AM=(x,y,z-1),CM=(x-1,y-2,z+3).∵点M在直线AB上,∴AB与AM∴存在实数λ,使得AM=λAB.∴x=-λ,y=λ,z-1=0.①又CM⊥AB,∴CM⊥AB,∴CM即-(x-1)+(y-2)=0.②由①②得,x=-12,y=12,z=故点M的坐标为-18.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若OP与平面ABC垂直,且OP=21,则点P的坐标为.

答案:(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析:依题意,AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).设点P的坐标为(x,y,z),则OP=(x,y,z).∵OP与平面ABC垂直,∴OP∵OP=21,∴|OP|=x2+y2+z2=21|z|=故点P的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h),所以CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).因为CD·AE=-8+8+0=0,CD所以CD⊥AE,CD⊥AP,即CD⊥又AE∩AP=A,所以CD⊥平面PAE.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=3,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:PE⊥AF.证明:如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),F(0,12所以AF=(0,12,依题意,设E(x,1,0),0≤x≤3,则PE=(x,1,-1).因为PE·AF=0+12-12=能力提升1.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).下列结论正确的是()A.AP⊥AB B.AP⊥ADC.平面PAC⊥平面ABCD D.PB⊥PD答案:ABC解析:因为AP·AB=-2-2+4=0,AP·AD=-4+4+0=0,所以AP⊥AB,AP⊥AD,即AP⊥AB,AP⊥AD.又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD.又AP⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.故ABC中结论正确.因为PB=AB-AP=(3,-3,-3),2.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AFFD的值为(A.12 B.1C.3 D.2答案:B解析:如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E(12,1,0),P(0,0,a)设点F的坐标为(0,y,0),0≤y≤1,则BF=(-1,y,0),PE=(12,1,-a)因为BF⊥PE,所以BF·PE=0,即-12+y=0,解得所以点F的坐标为(0,12,0),所以F为AD的中点,所以AFFD=3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.当点Q为线段B1P的四等分点时,DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD答案:D解析:如图,以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D(0,1,12),P则A1B=(1,0,1),A1D=(0,1,12),B1P=(-1,2,0),DB设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·A1则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,令B1Q=λB1P=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ则DQ=DB1+B1Q=(1-λ,-1因为DQ也是平面A1BD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与DQ=(1-λ,-1+2λ,-12)共线则1-λ所以1-λ2=故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD,故选D.4.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值为.

答案:2解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,a,0).设Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),则PQ=(1,x,-z),QD=(-1,a-x,0).因为PQ⊥QD,所以PQ·QD=0,即-1+x(a-x)=0,整理得x2-ax+1=由题意知,关于x的方程x2-ax+1=0只有一解,所以Δ=a2-4=0.因为a>0,所以a=2,此时x=1∈[0,2].故a的值为2.5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PD⊥底面ABCD,且PD=DA=CD=2AB=2,点M为PC的中点.若平面PAD内的一点N满足MN⊥平面PBD,则MN的长为.

答案:5解析:由题意知DP,DC,DA两两垂直.以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz(如图所示).∵PD=CD=DA=2AB=2,∴D(0,0,0),B(2,1,0),P(0,0,2),M(0,1,1).设N(x,0,z),则MN=(x,-1,z-1),DP=(0,0,2),DB=(2,1,0).若MN⊥平面PBD,则MN即2(z∴N(12,0,1),∴MN=(12,∴|MN|=526.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点,(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,请确定点E的位置并说明理由.(1)证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0).所以DB=(1,1,0).设E(0,1,a),0≤a≤1,则A1E=(-1,1,a-因为DB·A1E=-1+1所以A1E⊥BD,即A1(2)解:E为CC1的中点.理由如下:由(1)可知,DA1=(1,0,1),DB=设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n取x=1,则y=-1,z=-1,于是n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.同理,平面EBD的一个法向量为m=(a,-a,1).因为平面A1BD⊥平面EBD,所以n⊥m,即n·m=a+a-1=0,解得a=12所以点E的坐标为(0,1,12),此时E为CC1的中点7.如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图2.图1图2(1)求证:A1E⊥平面BCDE.(2)在线段BD上是否存在点P,使平面A1EP⊥平面A1BD?若存在,求BPBD的值;若不存在,请说明理由(1)证明:∵DE⊥AB,∴BE⊥DE,又∵BE⊥A1D,DE∩A1D=D,DE⊂平面A1DE,A1D⊂平面A1DE,∴BE⊥平面A1DE.∵A1E⊂平面A1DE,∴A1E⊥BE,又∵A1E⊥DE,BE∩DE=E,BE⊂平面BCDE,DE⊂平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE.(2)解:存在,理由如下:∵A1E⊥平面BCDE,BE⊥DE,∴以E为原点,分别以EB,ED,EA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则B(1,0,0),D(0,3,0),A1(0,0,1),假设在线段BD上存在一点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,设P(x