傅立叶光学习题与答案

云南师范大学2005-2006学年上学期统一考试学院物理与电子学院专业光学工程年级2005级班级 学号 姓名一个正复振幅光栅，振幅透过率为：t(x,y)=—+—cos2Kfxoo ^2^2 。放在一个直径为的圆形会聚透镜(焦距为f)之前，并且用平面单色波倾斜照射，平面波的传播方向在xz平面内，与轴夹角为o，如图1所示。0<求通过物投射的光振幅分布的频谱。(3)假定d=d=2f，问像平面上会出现强度变化的角0是多少0i(4)假定用的倾斜角就是这个最大值，求像平面上的强度分布。它与0=0时相应的强度分布比较,情况如何(5)假定照明倾角0采用上述极大值，问使得像平面上出现强度变化的最大光栅频率是多少这个频率与0=0时的截止频率比较，结论如何(40%)图1图1⑴解：倾斜单色平面波入射，在物平面上产生的入射光为Aexp(m0sin0)，则物平面的投射光场为：U(xU(x,y)=Aexp(jRx

000 0sin0)•t(x,y0 0)=Aexp(jRxsin0).2(1+cos2nfx)A sin9、1 sin9八1 sin9.=5{exp(j2兀%°—^―)+,exp[j2kx0(-^—+f)+-exp[-j2兀%0(f--^—)]}它的频谱为：TOC\o"1-5"\h\zA(f,f)=F{U(x,y)=F{U(%,y)}0xy 0 0 0 0Asin9 1 sin9 1 sin9=-{S(f- ,f)+-5[f-(f+ ),f]+-6[f-(f+-^—)};2 %人% 2 % 人y2 % 人(2)解：在相干光照明下，系统的截止频率为(2)解：在相干光照明下，系统的截止频率为f0l

2Xd-

i为了取到尽可能大的9为了取到尽可能大的9，即取最低的两个频率分量sin9 sin9(^^,0),(-f+-^,0)

人 人sin9于是要求-sin9于是要求-人ll« ;及- 2九d 2九diisin9 l«-f+ « 九 2九di将d=2f代入上述两个不等式，得到满足两个频率分量通过系统的条件i廿--<sin9<—,最大值为9 =sin-1(—)；4f 4f max、4f，'Jf2+f2(3)解：直径为的圆形透镜相干传递函数为H(f,f)=circ(土宁——」)，%y l2九d3当9取最大值，sin当9取最大值，sin94f；此时物场的二个频率分量中只有一个较高频率分量超出系统的截止频率，因而sin9的截止频率，因而sin9"r,f=。以出=-f+sin9+^—，f=0人y像的频谱为：A(f,f)=A(f,fH(f,f)0%sin9T-sin9T-%yf+、V人/r-f+孚、V人/%y像平面复振幅分布为：u«3,丁3)=f-1AI(〜=—\expj2Kx收fysin9))}光强分布为:I(x,y)=3 3 3vA(.——

=—expj2Kx1一一(一+^exp[j2Kx3-f+3套|x口+2exp(-j2”)人2[1+1exp(-j2kxj}x[1+2exp(j2kxf)=上[5+cos2f：]3 44当当9=°时；设f<f0贝Uu(x,y)=—(1+cos2nfx)3 3 3 2 3相应光强分布为：I相应光强分布为：Ii)二1—+2cos2兀fx+cos2 3 2且没有倍频成分。max通过①②两式比较，可看出9=9 时，条纹对比度较差且没有倍频成分。maxmax(4)解：照明倾角9为极大时德廿-4f<sin9;廿-9=0时，光栅频率不大于系统截止频率，即f<二W4fN max比较上式③④，可知9=9倾角的平面波照明，系统允许通过的物光栅的频率比垂直照明max大。一，/、 ,、 /、zx—1、.已知f(x)=rect(x),h(x)二rect()。求：f(x)*h(x),并作图，说明其性质和意义。g(x)=f(x)*h(x)=Jf(a)h(x—a)da一8当—8<x<-1/2时，g(x)=0当一1/2<x<1/2时，g(x)=Jda=x+——1/23/,2当1/2<x<3/2时，g(x)=Jda=1—1/2112当3/2<x<5/2时，g(x)=Jda=——x当x>5时，g(x)=0—2+x0,(x<1/2)故： g(x)=f(x)*(x)=<x故： g(x)=f(x)*(x)=<5/2—x,(3/2<x<5/2)0,(x>5/2)图为：>三、在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d=4,线宽a=1,最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响：（1）写出傅立叶平面p2上的频谱分布表达式；（2）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；（3）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出面复振幅和光强分布表达式；（4）若将一个兀相位滤波器H（x,y）=[exp（加）x2,'亡0,'02々10 其它放在p2平面的圆点上，写出输出面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。（20%）{解：(1)因为是无限大的矩形光栅，即B不用考虑所以t(x1)=(1/d).rect(x1/a)*comb(x1/d)可以在频谱面上得到它的傅立叶变换T(fx)=FS{t(x1)}=(a/d){sinc(fx)+sinc(a/d).sinc(fx-1/d)+sinc(a/d).sinc(fx＋TOC\o"1-5"\h\z1/d)+……} * * *把a=1,d=4代入上式T (fx ) = ( 1/4 ){sinc(f)+sinc(1/4).sinc(f-(1/4))+sinc(1/4)sinc(f+(1/4))+…..}= ( 1/4 ){sinc(f)+sinc(1/4)8(f-(1/4))+sinc(1/4)8(f+(1/4))+…..})(2)t(x3)=(1/4)rect(x3)*comb(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2=(1/16)[rect(x3)*comb(x3/4)]2(3)阻挡零频分量，可使像发生寸度反转t(x3)=(1/4)[rect(x3)*comb(x3/4)]-(1/4)rect(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2⑷相位为冗的滤波器相当于将寸度再次反转t(x3)=(1/4)[rect(x3)*comb(x3/4)]-(1/4)rect(x3/4)-(1/4)rect(x3/4)I(x3)=|t(x3)|2四.以傅里叶变换全息为例，推导并解释如下概念：(10%)(1)全息再现像的分辩率(2)线模糊}(3)色模糊TOC\o"1-5"\h\z解：(1)傅立叶变换全息图记录物的傅立叶谱，记录过程中物。(％y)置于透镜前焦面上，0, 0用平行光照明，将全息干板置于后焦面上，用斜入射的平行光作为参考光，设物光为O(x,y)=O(xy)exp[j。(x,y)]，参考光由位于前焦面上的点光源产生的，坐标0 0 0 0,0 0 0 0(-b,o),表述为R(x,y)=RB(x+b,y)，经变换干板处的光振动00 0 0 0U=F{O}+F{R}，其中F是傅氏变换，暴光光强为I(f,f)=UI2,其中H xyHfx=xf/Off),fy=yf!/Off)为空间频率分量，xf，yf为透镜后焦面上的空间坐标，f为透镜焦距，经线性处理后，全息图的透过率tXI，再现中，用平行光HC(x,y)=Cexp(j。)=1垂直入射到全息图上，全息图后的光振动为：00U=C-t=t，再现像为U=F-i{U'}。对记录介质分辨率的要求不受物体本身精H HH f H

细结构的影响，而取决于全息图中最精细的光栅结构因而应该满足R>4f，其中R为记x0录介质分辨率，f表示全息图的频谱成分，即空间频率。再现像的分辨率取决于全息图的x0宽度，它所记录的空间频率越丰富，分辨率越高。（2）线模糊：实际光源上每一点作为参考光源，会产生全息图上不同光栅结构，作为再现光源会产生不同的再现像，一个物点将对产生多个像点也就是说，用扩展光源作为参考光源和再现光源时会导致再现像的展宽，这个现象称做线模糊。设参考光源和再现光源的现度分别为AR和AC，人Jarac)AL=I+l3（3）色模糊：对于像全息，再现光源的光谱宽度对像清晰程度仍然是有影响，因为实际上光不能使物上所有点均能满足1Z0I为最小，这时一个物点不是对应一个像点，而是对应一个线段。这种由于波长的不同而产生的像的扩展叫做像的色模糊，即使Z设参考光源和再现光源的现度分别为AR和AC，人Jarac)AL=I+l3（3）色模糊：对于像全息，再现光源的光谱宽度对像清晰程度仍然是有影响，因为实际上光不能使物上所有点均能满足1Z0I为最小，这时一个物点不是对应一个像点，而是对应一个线段。这种由于波长的不同而产生的像的扩展叫做像的色模糊，即使Z0足够小，当A九相当大时，仍然回形成不可忽视的色模糊；色模糊（弥散量）：AZ工ZA九j九202五、如图2所示，边长为2a的正方形孔内在放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在（己,n）点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与她相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的光场强度分布，画出己=「=0时，孔径频谱在x方向上的截面图。（20%）]解：（1）孔径的振幅透射率函数可表示为两个矩形函数之差rect一rectrectrect\aJtQ,y)=rect1,，1rectI一rect-Ic2afy采用单位振幅平面波垂直照明，孔径平面透射光场为Q1,yJ=t(x1,y1)=rect它的傅里叶变换式为4a2sincaJ把它代人夫琅禾费衍射方程：uQ,y)=exp!Jk'exp[j—x2+y2\xJfuQ,y)exp[-j2^-(xx+yy)dxy]070 j1z 2z0 0Q 1— 1z01为一 "1」一8得到孔的夫琅禾费衍射分布：六、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一足够大的摸板，其振幅透过率为t(x°X°.5(1+cos2兀x产»，求紧靠孔径投射场的角谱。(20%)(五、六题选做一题)六、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一足够大的摸板，解：入射到孔径的场分布为U(x,y)=1，模板的it(x。)=0.5(l+cos2kx邛)，所以模板后的透射场分布为:U(x,y)=U(x,y)-t(x,y),cosacosP透过率为：cosP

"X"透过率为：cosP

"X"由傅氏变换的卷积定理可得：,/cosacosP、，,cosaA(-^^,^^)=A(--

t入入i入cosP cosa丁)”(丁其中A(