对数与对数函数专题练习(含参考答案)

对数与对数函数专题练习(含参考答案)数学中的对数和对数函数是高中数学中的重要概念。下面是一些基础的选择、填空和解答题。选择题：1.已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log13，则a，b，c的大小关系为B．b>a>c。2.下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是D．y＝log2x。3.已知a＝1/√2，b＝log10.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是C．a<c<b。4.已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是一条过原点的直线。5.若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是D．(0,1)∪(1，＋∞)。填空题：6.函数f(x)＝－(lgx)2＋3lgx－2的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)。7.已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝2。8.已知函数f(x)＝{log2x，x>0；x/2，x≤2}．若关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则a的取值范围是(0,1)。解答题：9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2。解：(1)a=3，定义域为(-∞,-1)∪(1,3)；(2)最大值为loga(10)。10.已知函数f(x)＝log2(x－1)(a为常数)是奇函数。(1)a=2，定义域为(1,∞)；(2)m>log2(3/2)。能力挑战：11.设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则ab<a＋b<0。12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x＜3y＜5z。x的图像如下图所示，则a的取值范围是()解析：根据对数函数的性质，a的取值范围应该是(0,1)∪(1，＋∞)．当0<a<1时，对数函数的图像是下凸的，即函数值随着自变量的增大而减小；当a>1时，对数函数的图像是上凸的，即函数值随着自变量的增大而增大．综上所述，a的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．答案：(0,1)∪(1，＋∞)解答：(1)由已知f(1)＝2，代入f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)中得：2＝loga2＋loga2，即a2＝4，所以a＝2或a＝－2.但a＞0，所以a＝2.又因为f(x)中有loga(1＋x)和loga(3－x)，所以1＋x＞0，即x＞－1；3－x＞0，即x＜3.综上，f(x)的定义域为{x|x＞－1且x＜3}，即(-1,3).(2)对于x∈(-1,3)，有：f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)].令y＝(1＋x)(3－x)，则y＝－x2＋4x＋3，其对称轴为x＝2，开口向下，最大值为y＝f(2)＝log25.所以在区间(-1,3)上，f(x)的最大值为log25.设$f(x)=\log_a\frac{1-x}{1+x}$，则$f(-x)=-\log_a\frac{1-x}{1+x}=-\log_a(1-x)-(-\log_a(1+x))=-f(x)$，因此$f(x)$是奇函数。又因为$\frac{1-x}{1+x}$在$(-1,1)$上单调递减，所以$f(x)$在$(-1,1)$上也是单调递减的。根据奇函数的性质，$f(x)$在$(-1,1)$上存在最小值，设其为$f(t)$，则$t\in(0,1)$，且$f(t)=\min_{x\in(-1,1)}f(x)=\log_a\frac{1-t}{1+t}$。当$a>1$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，因此$f(x)$在$(-1,1)$上是减函数；当$0<a<1$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，因此$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数。综上，当$x\in[-t,t]$时，$f(x)$存在最小值，最小值为$\log_a\frac{1-t}{1+t}$。设$-1<x_1<x_2<1$，则$\frac{2(x_2-x_1)}{(1-x_1)(1-x_2)}=\frac{1+x_1}{1-x_1}\cdot\frac{1+x_2}{1-x_2}\cdot\frac{2}{(1+x_1)(1+x_2)}>0$，因此$x_2-x_1>0$。又因为$\frac{1+x_1}{1-x_1}\cdot\frac{1+x_2}{1-x_2}>1$，所以$\frac{1}{1+x_1}\cdot\frac{1}{1+x_2}<\frac{1}{(1+x_1)(1+x_2)}$。因此，$\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdot\frac{2(x_2-x_1)}{(1+x_1)(1+x_2)}>\frac{2(x_2-x_1)}{(1-x_1)(1-x_2)}$，即$\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdot\frac{1+x_1}{1+x_2}>1$，所以$\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}>\frac{1+x_2}{1+x_1}$。因此，$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\log_a\frac{1-x_1}{1+x_1}-\log_a\frac{1-x_2}{1+x_2}}{x_2-x_1}=\frac{1}{1+x_1}\cdot\frac{1}{1+x_2}\cdot\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdot\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{1+x_2}{1+x_1}\cdot\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$。因此，当$a>1$时，$f(x)$在$(-1,1)$上是凸函数；当$0<a<1$时，$f(x)$在$(-1,1)$上是凹函数。根据题意，有$f(x-2)+f(4-3x)\geqf(3x-4)$。由$x\geq1$可得$1<x<3$或$5<x<\frac{10}{3}$。当$1<x<3$时，$-1<x-2<1$且$-1<3x-4<1$，因此$f(x-2)\geqf(-x+4)$，$f(4-3x)\geqf(3x-4)$。当$5<x<\frac{10}{3}$时，$-1<3x-4<1$且$-1<5-3x<1$，因此$f(x-2)\geqf(3x-4)$，$f(4-3x)\geqf(-x+5)$。综上，$f(x-2)+f(4-3x)\geqf(3x-4)$成立。当$a>1$时，$f(x)$在$(-1,1)$上是减函数，因此$f(x)\geqf(t)$，即$\log_a\frac{1-x}{1+x}\geq\log_a\frac{1-t}{1+t}$，解得$x\leq\frac{1-t}{1+t}$或$x\geq\frac{t-1}{t+1}$。当$0<a<1$时，$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数，因此$f(x)\geqf(-t)$，即$\log_a\frac{1-x}{1+x}\geq\log_a\frac{1+t}{1-t}$，解得$x\leq\frac{t-1}{t+1}$或$x\geq\frac{1-t}{1+t}$。综上，当$x\in[-t,t]$时，$f(x)$取得最小值。当$a>1$时，最小值为$\log_a\frac{1-t}{1+t}$；当$0<a<1$时，最小值为$\log_a\frac{1+t}{1-t}$。因此，当$x\in[-t,t]$时，$f(x)$存在最小值，最小值为$\log_a\frac{1-t}{1+t}$或$\log_a\frac{1+t}{1-t}$，具体取决于$a$的大小。综上所述，当$x\in[-t,t]$时，$f(x)$存