北师大版《数学》(九年级下册)知识点总结

北师大版《数学》(九年级下册)知识点总结北师大版初中数学定理知识点汇总：九年级下册第一章直角三角形边的关系。一、正切：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=对边/邻边。1.tanA是∠A的正切的符号，习惯省略角度符号“∠”；2.tanA没有单位，表示直角三角形中∠A的对边与邻边的比；3.初中阶段只学习∠A是锐角的正切；4.tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二、正弦：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=对边/斜边。三、余弦：在直角三角形ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=邻边/斜边。余切：在直角三角形ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=邻边/对边。一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。正弦、余弦互为余函数，正切、余切互为余函数。可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数。用等式表达：若∠A为锐角，则1.sinA=cos(90°-A)；cosA=sin(90°-A)2.tanA=cot(90°-A)；cotA=tan(90°-A)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。利用特殊角的三角函数值表，可以看出：1.当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。2.0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgα·ctgα=1。特殊角的三角函数值表：sinαcosαtanαcotα0°10-30°1/2√3/3√345°√2/2√2/2160°√3/21/√31/√390°0--当二次函数的系数a大于0时，抛物线开口向上，向上方无限延伸；当a小于0时，抛物线开口向下，向下方无限延伸。对于二次函数y=ax^2+c，当a大于0且x=0时，函数取得最小值，最小值为c；当a小于0且x=0时，函数取得最大值，最大值为c。抛物线的开口程度由a的绝对值决定，|a|越大，开口越小，靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|越小，开口越大，远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。二次函数y=ax^2+c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。二次函数y=ax^2+bx+c的图象可以由y=ax^2的图象平移得到，步骤如下：①将y=ax^2+bx+c配方成y=a(x-h)^2+k的形式，其中h=-b/2a，k=c-ah^2；②把抛物线y=ax^2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)^2的图象；③再把抛物线y=a(x-h)^2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位，便得到y=a(x-h)^2+k的图象。对于二次函数y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,a(-b/2a)^2+c)，增减性由a的正负号决定，若a>0，则当x<-b/2a时，y随x的增大而减小，当x>-b/2a时，y随x的增大而增大；若a<0，则当x<-b/2a时，y随x的增大而增大，当x>-b/2a时，y随x的增大而减小。最值由a的正负号和顶点的位置决定，若a>0，则当x=-b/2a时，函数取得最小值，最小值为a(-b/2a)^2+c；若a<0，则当x=-b/2a时，函数取得最大值，最大值为a(-b/2a)^2+c。有以下情况：①d<r，点在圆内部；②d=r，点在圆上；③d>r，点在圆外部。对于一个圆，有以下数量特征：①圆心唯一；②半径唯一；③圆上任意两点之间的距离相等，即圆周长唯一；④圆内任意两点之间的距离小于半径，圆外任意两点之间的距离大于半径，即圆内外的点的数量特征不同。※3.车轮为什么做成圆形：车轮之所以做成圆形，是因为圆形结构具有以下优点：①圆形结构稳定性好，不易倾倒；②圆形结构转动时摩擦小，能够减小能量损失；③圆形结构可以均匀分布重量，使得车轮负重能力更强；④圆形结构制造工艺简单，成本低廉。因此，车轮被广泛应用于各种交通工具中。点在圆上的数量特征是重要的，因为它可以用来证明若干个点共圆。这可以通过证明这几个点与一个定点的距离相等来实现。圆的对称性是指圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。与圆相关的概念包括弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弓形、同心圆、等圆、等弧、圆心角和弦心距。垂径定理是指垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五个条件中的任何两个条件，都可推出其他三个结论。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角是指顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，而圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。需要注意的是，这里指的是角度数与弧的度数相等，而不是角与弧相等。(1)三角形内心到三边的距离相等，即三角形内心是三条角平分线的交点.(2)三角形内心到三角形外接圆的距离等于内切圆的半径.(3)三角形内心是三角形三条高的交点.※7.圆的切线与切点的坐标公式:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，直线的方程为y=kx+d，圆心为(a,b)，则判别式Δ=(k²+1)(r²-(d-b)²)，①Δ>0时，直线与圆有两个交点，切点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，其中x1=((-k(d-b)+a+sqrt(Δ))/(k²+1))，y1=kx1+d；x2=((-k(d-b)+a-sqrt(Δ))/(k²+1))，y2=kx2+d.②Δ=0时，直线与圆有一个交点，即切点坐标为(x,y)，其中x=(-kd+a)/(k²+1)，y=kx+d.③Δ<0时，直线与圆没有交点，即直线与圆相离.※8.圆的切线长度公式:设圆的半径为r，切线与圆心的距离为d，则切线长度为√(d²-r²).三角形的内心到三边的距离相等，且过三角形顶点和内心的射线可以平分三角形的内角。这个性质可以引出一条重要的辅助线——连接内心和三角形的顶点，该线可以平分三角形的这个内角。在圆和圆的位置关系中，有五种定义：外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）。两个圆的位置关系可以通过它们的距离来判定，具体而言，两圆外离当且仅当它们的距离大于两圆半径之和，两圆外切当且仅当它们的距离等于两圆半径之和，两圆相交当且仅当它们的距离在两圆半径之差和之和之间，两圆内切当且仅当它们的距离等于两圆半径之差，两圆内含当且仅当它们的距离小于两圆半径之差。如果两个圆相切，那么它们的切点一定在连心线上。而对于相交的两个圆，它们的连心线垂直平分公共弦。圆的周长公式为C=2πR，弧长公式为l=nπR/180（其中n表示弧所对的圆心角的度数）。扇形由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成，其面积公式为S=nπR²/360。弓形由弦及其所对的弧组成，其面积公式为S=S扇形-S三角形（当弓形所含的弧是劣弧时），或者S=S扇形+S三角形（当弓形所含的弧是优弧时），或者S=πR²/2（当弓形所含的弧是半圆时）。圆的面积公式为S=πR²。圆锥的概念可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆心是圆锥的顶点。圆锥的侧面积可以通过侧面展开图计算得出，其公式为S侧=πrl。在与圆有关的问题中，常常需要使用辅助线来解决问题。例如，当圆中有弦的条件时，可以作弦心距或过弦的一端作半径为辅助线。当一个圆有切线的条件时，常作过切点的半径或直径为辅助线。如果条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线。圆内接四边形是指四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征有两点：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。北师版数学未出理的有关