第三章线性代数方程组的数

第三章线性代数方程组的数第1页，课件共57页，创作于2023年2月3.1引言

给定一个线性方程组求解向量x。第2页，课件共57页，创作于2023年2月第一类是直接法。即按求精确解的方法运算求解。第二类是迭代法。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价变换为如下形式的方程组：数值解法主要有两大类：然后构造迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。第3页，课件共57页，创作于2023年2月

3.2解线性方程组的消去法

3.2.1高斯消去法与高斯若当消去法

例1

第一步：先将方程（1）中未知数的系数2除（1）的两边，得到下列方程组：

解：1、消元过程矩阵的观点第4页，课件共57页，创作于2023年2月

再将第二个方程减去第一个方程的4倍，第三个方程减去第一个方程的2倍。

第二步：将方程中第二个方程的两边除以的系数4

第5页，课件共57页，创作于2023年2月

将第三个方程减去第二个方程：

第三步：为了一致起见，将第三个方程中的系数变为1，

2、回代过程：第6页，课件共57页，创作于2023年2月

下面我们来讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法，且就矩阵的形式来介绍这种新的过程：一、高斯消去法第7页，课件共57页，创作于2023年2月高斯消去法：

（1）消元过程：对k=1,2,…,n依次计算

(2)回代过程：第8页，课件共57页，创作于2023年2月

例3.1试用高斯消去法求解线性方程组

消元过程为解第9页，课件共57页，创作于2023年2月即把原方程组等价约化为据之回代解得第10页，课件共57页，创作于2023年2月为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数矩阵A约化为单位矩阵I，从而得到解，即这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法

二、高斯-若当（Jordan）消去法

第11页，课件共57页，创作于2023年2月解归一消元第12页，课件共57页，创作于2023年2月归一消元归一消元第13页，课件共57页，创作于2023年2月例2试用高斯-若当消去法求解例3.1的线性方程组。

因为解第14页，课件共57页，创作于2023年2月高斯-若当（Jordan）消去法

一般公式：

第15页，课件共57页，创作于2023年2月高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过程的算法。以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素进行的，即第k次消元是用经过前k-1次消元之后的系数阵位于（k,k)位置的元素作除数，这时的(k,k)位置上的元素可能为0或非常小，这就可能引起过程中断或溢出停机。

3.2.2消去法的可行性和计算工作量

第16页，课件共57页，创作于2023年2月定理3.1

如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。推论若系数矩阵严格对角占优，即有

第17页，课件共57页，创作于2023年2月注意：高斯-若当消去法求解矩阵方程和求矩阵的逆矩阵例3.3试用高斯-若当消去法求解如下矩阵方程解：其中X是矩阵第18页，课件共57页，创作于2023年2月

3.2.3选主元素的消去法

主元素的选取通常采用两种方法：一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。下面以例介绍选主元的算法思想例3.4试用选主元消去法解线性方程组

第19页，课件共57页，创作于2023年2月（1）用全主元高斯消去法回代解出：还原得：解第20页，课件共57页，创作于2023年2月故得解为（2）用全主元高斯-若当消去法归一、消元主元主元主元归一、消元归一、消元第21页，课件共57页，创作于2023年2月（3）用列主元高斯消去法回代解得第22页，课件共57页，创作于2023年2月

3.3解线性方程组的矩阵分解法

一、非对称矩阵的三角分解法

矩阵分解法的基本思想是：可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵对于给定的线性方程组（1）分解——解两个三角形方程组。第23页，课件共57页，创作于2023年2月定理3.3注意第24页，课件共57页，创作于2023年2月矩阵的Crout分解的计算公式第25页，课件共57页，创作于2023年2月(3-12)Crout分解的计算公式第26页，课件共57页，创作于2023年2月Crout分解的计算公式的记忆方法第27页，课件共57页，创作于2023年2月第28页，课件共57页，创作于2023年2月注：第29页，课件共57页，创作于2023年2月例1.试用克洛特分解法解线性方程组0第30页，课件共57页，创作于2023年2月第31页，课件共57页，创作于2023年2月例3.5试用克洛特分解法解线性方程组解第32页，课件共57页，创作于2023年2月第33页，课件共57页，创作于2023年2月

3.3.3对称正定矩阵的三角分解

定义3.1若n阶方矩阵A具有性质且对任何n维向量成立，则称A为对称正定矩阵。定理3.4若A为对称正定矩阵，则

(1)A的k阶顺序主子式(2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D使得（3-16）这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵，使（3-17）这称为分解矩阵的平方根法。第34页，课件共57页，创作于2023年2月

（1）首先由A对称正定知且对任何k维非零向量

故为k阶对称正定矩阵，所以

由惟一性得

证第35页，课件共57页，创作于2023年2月把平方根法应用于解方程组，则把Ax=b化为等价方程相应的求解公式为第36页，课件共57页，创作于2023年2月把乔里斯基分解法应用于解方程组，则Ax=b化为等价方程相应的求解公式为第37页，课件共57页，创作于2023年2月j1jj-1由此可建立平方根法的递推计算公式如下：第38页，课件共57页，创作于2023年2月注：平方根法的递推计算记忆法第39页，课件共57页，创作于2023年2月例3.8试用平方根法求解对称线性方程组

解

(1)第40页，课件共57页，创作于2023年2月由此，可先由上三角形线性方程组再由下三角形线性方程组第41页，课件共57页，创作于2023年2月类似地，由得从而可建立乔里斯基分解法的递推计算公式为对于依次计算第42页，课件共57页，创作于2023年2月例3.7用乔里斯基分解法分解矩阵

解由式(3-9)第43页，课件共57页，创作于2023年2月第44页，课件共57页，创作于2023年2月

例3.9试用乔里斯基分解法解线性方程组解第45页，课件共57页，创作于2023年2月第46页，课件共57页，创作于2023年2月

3.4解线性方程组的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。第47页，课件共57页，创作于2023年2月

3.4.1雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法

约化便得从而可建立迭代格式对

（3-23）以分量表示即一、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

第48页，课件共57页，创作于2023年2月则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为MJfJ第49页，课件共57页，创作于2023年2月-------雅可比迭代例如解：修正-----高斯-塞德尔迭代第50页，课件共57页，创作于2023年2月用矩阵表示为对雅可比迭代格式修改得高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代

fG-SMG-S二、Gauss-Seidel迭代法第51页，课件共57页，创作于2023年2月例3.10分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

解相应的迭代公式为雅可比迭代高斯-塞德尔迭代令取四位小数迭代计算由雅可比迭代得

由高斯-塞德尔迭代得

第52页，课件共57页，创作于2023年2月

3.4.2迭代法的收敛性

定义3.2设n阶线性方程组的精确解为x*

相应的一阶定常迭代格式为如果其迭代解收敛于精确解，即则称迭代格式（3-26）收敛命题3.2记的充分必要条件为第53页，课件共57页，创作于2023年2月定理3.5若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件

则该迭代格式对任何初始向量均收敛。则该迭代格式对任何初始向量均收敛。

定理3.6

若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件第54页，课件共57页，创作于2023年2月定理3.7若雅可比迭代法的迭代矩阵满足条件（3-28）或（3-29），则雅可比迭代法与相应的高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量均收敛。推论

如果线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，即则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量均收敛。

第55页，课件共57页，创作于2023年2月

定理3.8一阶定常迭代格式对任何初始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即这里为M的特征值定理3.9

若线性方程组（3-1）的系数矩