历年高中数学联赛真题分类汇编14三角函数与解三角形

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题14三角函数与解三角形第一缉1．【2021年江西预赛】△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a4+b4+c4=2c2a【答案】63【解析】cos2C=cosC=±22,但C<180因此B=1802．【2021年江西预赛】1sin10°−3cos【答案】4【解析】1sin3．【2021年吉林预赛】已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=−35, 【答案】−56【解析】因为α,β∈3π4,π.所以因为sin(α+β)=−3所以cos(α+β)=4所以cosα+=cos=454．【2021年福建预赛】若5π是函数f(x)=cosnx⋅sin80n2x的一个周期,则正整数n【答案】2,10【解析】由5π是函数f(x)=cosnx⋅f(5π)=cos5nπ⋅由于n为正整数吋,cos5nπ=±1≠0,于是sin400所以，400n2于是,n=1,2,4,5,10,20.将n=1,2,4,5,10,20逐一代入验证可矢,n=2,10.所以，正整数n的所有可能取值为2，10.5．【2021年浙江预赛】计算sin220∘+cos【答案】34【解析】原式=sin26．【2021年浙江预赛】在△ABC中,∠B=∠C=30°,BC=23,P,Q分别在线段AB和AC上,AP=1,AQ=2,直线AD⊥BC于D。现将三角形△ABC【答案】3−5【解析】依题意可知∠BDC=60∘，又BD=CD=3，所以BC=3，所以cos∠PAQ=AP27．【2021年浙江预赛】已知△ABC三个顶点的坐标为A(0,0),B(7,0),C(3,4),过点(6−22,3−2)的直线分别与线段AC,BC交于P,Q。若SΔPQC=143【答案】4+4【解析】如下图所示,设D(6−22,3−2)可得dD−AC=则S△PQC=(3−2)|CP|+|CQ|)8．【2021年广西预赛】设sinα+sinβ=452, 【答案】6【解析】tanα+β2故tanα+9．【2021年新疆预赛】sin2100°−sin【答案】14【解析】方法一:原式=cos2方法二:原式=cos=1=1210．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设函数fx=cosx+log2xx>0【答案】−3或−1【解析】由条件得cosa+log进而得cosa=0或12,相应有于是f2a11．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】在△ABC中,AB=1,AC=2【答案】3【解析】由正弦定理可得：sinBsinC故：2sin即52sinC记△ABC的面积为S.注意到A=π由tanC=3512．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】当π4≤x≤π2时,【答案】1【解析】y=当π4≤x≤π2所以y的取值范围是113．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】在△ABC中,AB=1,AC=2【答案】2【解析】由正弦定理知sinBsinC=ACAB设BC=a>0.由余弦定理知14．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中,AB=6,BC=4,边AC上的中线长为10,则sin6A2+【答案】211【解析】记M为AC的中点,由中线长公式得4BM可得AC=2(由余弦定理得cosA=sin==1−=115．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在三角形ABC中,BC=4,CA=5,AB=6,则sin6A2+【答案】43【解析】由余弦定理得cosA=sin==1−=116．【2020年福建预赛】已知f(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)，若f5π8=0,f11π8=3,且f(x)的最小正周期大于2π【答案】−11π【解析】由f5π85π8ω+φ=kπ+11π8ω+φ=2mπ其中,k,m∈Z两式相减得3π4⇒ω=4又f(x)的最小正周期大于2π,得2πω>2π⇒0<ω<1则0<4⇒12由m,k∈Z,得2m−k=1从而,ω=23将ω=23代人式φ=2mπ−11π12结合|φ|<π,得φ=−11π1217．【2020年广西预赛】设θ1,θ2为锐角,且sin2020θ1cos【答案】π2【解析】注意到，sin2020⩾1010(=1010sin2类似地，cos2020⩾1010cos2故sin2020由等号成立,知θ1+18．【2020年浙江预赛】设x∈R.则y=sinx2−cosx【答案】33【解析】如图3,设A(cos则kAB=故−k∈[−33因此,kmax=19．【2020年新疆预赛】△ABC的三边分别为a,b,c,点O为△ABC的外心，已知b2−2b+c2=0,那么BC⋅【答案】[−1【解析】延长A0交△ABC的外接圆于D,得到BC⋅=12因为c2=−b2+2b>0,所以b∈(0,2)故答案为:[−1420．【2020年新疆预赛】已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0),若f(0)=−f(π2),【答案】143【解析】因为f(0)=−f(π2),所以12=sin(π2ω−π6).即π2ω−π6=π6+2kπ或21．【2019年全国】对任意闭区间I，用MI表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足M[0,a]=2M[a,2a]，则a【答案】5π6或【解析】由图像分析得a=5π6或22．【2019年江苏预赛】已知△ABC中，AC=8,BC=10,32cos(A−B)=31，则△ABC的面积是 【答案】157【解析】由正弦定理，得10sin由32cos可得tanA+B所以sinC=即△ABC的面积S=157另解：由题设知，∠BAC>∠B，作∠BAD=∠B,D在线段BC上.则∠CAD=∠A−∠B.设AD=x，则BD=x,DC=10−x，由余弦定理得(10−x)2解得x=8，则DC=10−x=2，由此可得cosC=18,sin23．【2019年江西预赛】△ABC的三个内角A,B,C满足A=3B=9C,则cosAcosB+cos【答案】−【解析】设C=θ, B=3θ,A=9θ,由θ+3θ+9θ=π,得S==1注意括号中的诸角度构成公差为2π13的等差数列两边通乘44S⋅=+sin所以S=−124．【2019年内蒙古预赛】已知sin[2(α+β)]=nsin2γ,则tan(α+γ+β)【答案】n+1【解析】∵∴tan25．【2019年新疆预赛】设1+sinxcosx=227且1+cos【答案】44【解析】注意到sinx=2sinx2cos由1+sinxcos即15cosmn从而m+n=29+15=44.26．【2019年浙江预赛】设θ∈0,π2，则2sinθ【答案】6−4【解析】令t=sinθ+cos2sin27．【2019年重庆预赛】tan15【答案】1【解析】tan1528．【2019年福建预赛】在△ABC中，若AC=2, AB=2，且3sinA+cos【答案】2【解析】由3sinA+cosA3∴ A+π6=∴由余弦定理，得：BC∴ 29．【2019年广西预赛】如果函数y=2sin(2x+φ)的图像关于点(2π3,0)中对称,那么|φ|【答案】π【解析】依题意有2sin当k=1取到等号,所以|φ30．【2019年吉林预赛】若sinθ+cosθ=75,且tanθ<1【答案】3【解析】将sinθ+cosθ=由此可得(sin故sin则sinθ+cosθ=解得sinθ=45因为tanθ<1,所以sin31．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】对任意闭区间I，用MI表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足M[0,a]=2M[a,2a]【答案】56π或【解析】假如0<a⩽π2，则由正弦函数图象性质得与条件不符.因此a>π2，此时M[0,a]于是存在非负整数k，使得2kπ+56π⩽a<2a⩽2kπ+13且①中两处“≤”至少有一处取到等号.当k=0时，得a=56π或2a=136当k≥1时，由于2kπ+136π<22kπ+5综上，a的值为56π或32．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设α,β∈(0,π),cosα,cosβ是方程5x2－3x－1=0的两根，则sinα【答案】7【解析】由条件知cosα+(=(1+又由α,β∈(0,π)知sinαsinβ>033．【2018年山西预赛】计算cos2π【答案】1【解析】记S=cos2π7cos4π34．【20