2021中考湖南省娄底市数学卷解析

2021湖南省娄底市中考数学试题答案及解析

一、精心选一选,旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）

1、（2021•娄底）-2021的相反数是（）

A、2021B、-2021

-J-

jC2011DD、2011

考点分析：相反数。

专题分析：计算题。

分析：根据相反数的意义，只有符号不同的数互为相反数.

解答：解：-2021的相反数是2021,

故选A.

点评：本题考查了相反数的概念.只有符号不同的数互为相反数，0的相反数为0.

2、（2021•娄底）2022年中考往年真题练习：4月28日，国家统计局发布2022年中考往

年真题练习：第六次全国人口普查主要数据公报，数据显示，大陆31个省、自治区、直

辖市和现役军人的人口共1339724852人，大陆总人口这个数据用科学记数法表示（保留3

个有效数字）为（）

A、1.33xl（）9人B、1.34xl（）9人

C、13.4x108人D、1.34x1010人

考点分析：科学记数法与有效数字。

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中修闾<10,n为整数.有效数字的计

算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字.

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的几次方无关.

解答：解：1339724852=1.339724852=1.34xl09.

故选B.

点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确

定方法.

3、（2021•娄底）若|x-3|=x-3,则下列不等式成立的是（）

A、x-3>0B、x-3<0

C^x-3>0D、x-3<0

考点分析：绝对值。

专题分析：常规题型。

分析：根据绝对值的意义，任何数的绝对值都是非负数，从结果入手直接得到答案.

解答：解：：|x-3|=x-3,

Ax-3>0.

故选:C.

点评：此题主要考查了绝对值的意义，从去绝对值后的结果入手分析是解决问题的关

键.

4、（2021•娄底）已知点A（xi,yi）,B（x2,y2）是反比例函数y］的图象上的两

点，若X1V0VX2,则有（）

A、yi<0<y2B、y2<0<yi

C、yi<y2<0D、y2<yi<0

考点分析：反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点，横纵坐标的积=5,再根据条件xi<0<X2（

可判断出yi〈O,y2>0,从而得到答案.

解答：解：；A（xi,yi）,B（x2,y2）是反比例函数y="的图象上，

/.xryi=5,X2*y2=5,

Vxi<0<X2,

/.yi<0,y2>0,

.\yi<0<y2,

故选：A.

点评：此题主要考查了比例函数图象上点的坐标特点，凡是图象经过的点，都满足关

系式，横纵坐标的积=上

5、（2021♦娄底）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Zl=30°,Z2=50°,

则N3的度数为（）

A、80B、50

C、30D、20

考点分析：平行线的性质；三角形的外角性质。

专题分析：计算题。

分析：由BC〃DE得内错角NCBD=/2,由三角形外角定理可知NCBD=N1+N3,由此可

求/3.

解答：解：如图，VBC/ZDE,.•.NCBD=N2=50。，

又•../CBD为△ABC的外角，

ZCBD=Z1+Z3,

即N3=50。-30°=20°.

故选D.

A

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将

所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系.

6、（2021•娄底）下列命题中，是真命题的是（）

A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四

边形是矩形

C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形D、两条对角线互相垂直且相等的

四边形是正方形

考点分析：命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定。

分析：真命题就是判断事情正确的语句.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对

角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形.

解答：解:A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确.

B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误.

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误.

D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形.故本选项错误.

故选A.

点评：本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理,

熟记这些判定定理才能正确的判断正误.

7、（2021•娄底）若。O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与。O

的位置关系是（）

A、点A在圆外B、点A在圆上

C、点A在圆内D、不能确定

考点分析：点与圆的位置关系。

分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d

>r时，点在圆外；当d=i•时，点在圆上；当d〈r时，点在圆内判断出即可.

解答：解：：。。的半径为5cm,点A到圆心O的距离为4cm,

；.d<r,

.•.点A与。O的位置关系是：点A在圆内,

故选:C.

点评：此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的

距离为d,则有：当d>i•时，点在圆外；当d=i'时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

8、（2021•娄底）如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（）

考点分析：展开图折叠成几何体。

分析：根据圆锥侧面展开图的特点，直接可以得到答案.

解答：解：根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得到答案，故D不符合要求,

故选:D.

点评：此题主要考查了圆锥侧面展开图的性质，根据圆锥侧面展开图的性质得到是解决

问题的关键.

9、（2021•娄底）因干旱影响，市政府号召全市居民节省用水.为了了解居民节省用水的

情况，小张在某小区随机调查了五户居民家庭2022年中考往年真题练习：5月份的用水量:

6吨，7吨，9吨，8吨，10吨.则关于这五户居民家庭月用水量的下列说法中，错误的

是（）

A、平均数是8吨B、中位数是9吨

C、极差是4吨D、方差是2

考点分析：方差；算术平均数；中位数；极差。

专题分析：计算题。

分析：根据中位数、方差、平均数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、方差、平

均数和极差.即可判断四个选项的正确与否.

解答：解:A、月用水量的平均数是8吨，正确；

B、用水量的中位数是8吨，错误；

C、用水量的极差是4吨，正确；

D、用水量的方差是2,正确.

故选B.

点评：考查了中位数、方差、平均数和极差的概念.中位数是将一组数据从小到大（或

从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据

的中位数.加入中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这

组数据最中间的那个数当作中位数.

10、（2021•娄底）如图，自行车的链条每节长为2.5cm,每两节链条相连接部分重叠

的圆的直径为0.8cm,加入某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时

A、150cmB、104.5cm

C、102.8cmD、102cm

考点分析：规律型：图形的变化类。

分析：根据已知可得两节链条的长度为:2.5x2-0.8,3节链条的长度为:2.5x3-0.8x2,

以及60节链条的长度为:2.5x60-0.8x59,得到答案即可.

解答：解：•••根据图形可得到：

两节链条的长度为:2.5x2-0.8,

3节链条的长度为:2.5x3-0.8x2,

4节链条的长度为:2.5x4-0.8x3,

.1.60节链条的长度为:2.5x60-0.8x59=102.8,

故选:C.

点评：此题主要考查了图形的变化类，根据题意得到60节链条的长度与每节长度之间的

关系是解决问题的关键.

二、细心填一填，一锤定音（本大题共8道小题，每小题4分，满分32分）

11、（2021•娄底）计算：-2xJ9=-6.

考点分析：实数的运算。

分析：首先将二次根式化简，再进行相乘运算得到答案.

解答：解：-2x-2x3=-6,

故答案为：-6.

点评：此题主要考查了实数的运算，将二次根式化简正确是解决问题的关键.

x+2>4

12、（2021•娄底）不等式组《的解集是2<xW4.

（3x-4<8

考点分析：解一元一次不等式组。

专题分析：计算题。

分析：此题可通过对不等式组里的两个一元一次不等式求解，再写出两个不等式的公共

解集.

解答：解：由题意解不等式组得：

,x<4

则不等式组的解集为:2<x<4.

故答案为:2<x<4.

点评：本题考查了不等式组解集的求法，可通过解每一个不等式后再求公共解得到.求不

等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小

解不了.

13、（2021•娄底）加入方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为1.

考点分析：根的判别式。

专题分析：计算题；方程思想。

分析：由于方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，由此得到方程的判别式为0,由此可

以得到关于a的方程，解方程即可求解.

解答：解：I•方程x2+2x+a=0有两个相等的实数根，

.•.△=22-4a=0,

/.a=1.

故答案为：1.

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式，利用方程的判别式与一元二次方程的根

的关系得到关于a的方程是解题的关键.

14、（2021•红河州）一次函数y=-3x+2的图象不经过第三象限.

考点分析：一次函数的性质。

分析：根据一次函数的性质容易得到结论.

解答：解：因为解析式y=-3x+2中，-3V0,2>0,图象过一、二、四象限，故图象

不经过第三象限.

点评：在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大

而减小.

15、（2021•娄底）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12,

AC=8,则CD=2.

4C~~DB

考点分析：两点间的距离。

分析：根据AB=12,AC=8,求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得到

CD=BD即可得到答案.

解答：解：VAB=12,AC=8,

；.BC=4,

•.•点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点,

，CD=BD=2,

故答案为:2.

点评：此题主要考查了两点距离求法，根据已知求出BC=4是解决问题的关键.

16、（2021•娄底）如图，z\ABC内接于。0,已知/A=55。，则/BOC=110°

考点分析：圆周角定理。

分析：直接利用圆周角定理同弧所正确的圆周角是圆心角的一半，直接得到答案.

解答：解：:△ABC内接于。O,已知NA=55。，

AZBOC-llO0,

故答案为：110°.

点评：此题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解决问题的关键.

17、（2021•娄底）如图，△ABC中，NC=90。，BC=4cm,tanB=1,则△ABC的面积

是12cm2.

/

H

考点分析：解直角三角形。

分析：根据锐角三角函数关系tanB=9=^=竽，求出AC的长，再利用直角三角形面积求

法求出即可.

解答：解：:△ABC中，ZC=90°,BC=4cm,tanB=J

3」4J4c

.tanB=2=BC=^T'

Z.AC=6,

.,.△ABC的面积是：；x4x6=12.

故答案为：12.

点评：此题主要考查了解直角三角形，利用已知锐角三角函数关系求出AC的长是解决

问题的关键.

18、（2021•娄底）如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一

个开关，灯泡发亮的概率是至

考点分析：列表法与树状图法。

专题分析：计算题。

分析：根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合C时才发光，所以小

灯泡发光的概率等于上

解答：解：根据题意，三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等

吟

故答案为参

点评：本题考查随机事件概率的求法：加入一个事件有n种可能，而且这些事件的可能

性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）与.

三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题7分，满分21分）

19、（2021•娄底）先化简：（4+」一）——.再从1,2,3中选一个你

a+1a-1ar-2a+l

认为合适的数作为a的值代入求值.

考点分析：分式的化简求值。

专题分析：开放型。

分析：括号里通分，，除式的分母因式分解，除法化为乘法，约分，代值时，a的取

值不能使分母、除式为0.

(a-1)+e+1，a2-2a-Fl

解答：解：原式工

(a-1)2a-

2

2afa-1?

Ca-1)2a

a-1

=aTT,

Va^l,a/-1,a^O.

・••在1,2,3中，a只能取2或3.

当a=2时，原式。

当a=3时，原式=4.

注：在a=2,a=3中任选一个算对即可.

点评：本题考查了分式的化简求值.关键是根据分式混合运算的顺序解题，代值时，字

母的取值不能使分母、除式为0.

20、（2021•娄底）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对

岸有一水文站A,小伟在河岸B处测得NABD=45。，沿河岸行走300米后到达C处，在C

处测得NACD=30。，求河宽AD.（最后结果精确到1米.已知：J2*L414,73-1.732,

V6~2.449,供选用)

考点分析：解直角三角形的应用-方向角问题。

分析：根据由图可知ADJ_BC,于是NABD=NBAD=45。，以及NACD=30。，利用BD=x,

CD=J3X,即可得到X+J3X=300,求出即可.

解答：解：如图，由图可知AD_LBC,于是NABD=NBAD=45。，NACD=30。.

在RtAABD中，BD=AD.

在RtAACD中，CD=J3AD.

设AD=x,则有BD=x,CD=J3X.

依题意，得BD+CD=300,

即X+J3X=300,

(1+v3)x=300,

（米）

1+月

答：河宽AD约为110米.

点评：此题主要考查了解直角三角形主要是方向角问题，正确记忆三角函数的定义表示

出BD=x,CD=J3X是解决本题的关键.

21、（2021•娄底）2022年中考往年真题练习：5月31日是第24个世界无烟日，也是我

国从5月1日开始在公共场所禁止吸烟满一个月的日子.为创建国家级卫生城市，搞好公

共场所卫生管理，市育才实验学校九年级（1）班社会实践小组对某社区居民开展了“你支

持哪种戒烟方式''的问卷调查，图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

请根据以上条形统计图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）九年级（1）班社会实践小组一共调查了200名社区居民.

（2）扇形统计图中，表示支持“替代品戒烟”的扇形的圆心角的度数为108。.

（3）请将条形统计图补充完整.

考点分析：条形统计图；扇形统计图。

分析：(1)总数=频数+百分比,

(2)首先求出替代品戒烟所占的百分比，再利用360%百分比=圆心角;

(3)药物戒烟人数=总数X20%,计算出人数后再画出图形.

解答：解：(1)70・35%=200,

故答案为:200；

(2)(1-15%-35%-20%)x360°=108°,

故答案为：108。；

(3)200x20%=40,

如下图：

a

80

70

a)

50

40

30

20

!o

修♦2

制

承<

A<代

・

・

fll

点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，关键是同学们要会看统计图，能把两

个图形结合起来看，充分考查了看图功底.

四、综合用一用，马到成功(本大题共1道小题，满分8分)

22、（2021•娄底）为建设节省型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困

难，切实做好节能减排工作.某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定:

居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，I千瓦时俗称1度）时，实际“基本

电价“；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”.

（1）小张家2022年中考往年真题练习：4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份

用电120千瓦时，上缴电费88元.求“基本电价''和“提高电价”分别为几元/千瓦时？

（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时,请预算小张家6月份应上缴的电费.

考点分析：二元一次方程组的应用。

专题分析：方程思想。

分析：设“基本电价''和“提高电价”分别为x、y元/千瓦时，则根据4月份电费不变得到,

80x+（l00-80）y=68；由5月份电费不变得，80x+（120-80）y=88,列方程组求解.（2）

由（1）得到的“基本电价”和“提高电价”求出6月份应上缴的电费.

解答：解：（1）设“基本电价''为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得

80%+<100-80；y=68

80%+<120-80；y=88

解之，得心；*6

答:“基本电价''为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时.

（2）80x0.6+（130-80）x1=98（元）.

答：预计小张家6月份上缴的电费为98元.

点评：此题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是理解明确上缴电费的计

算方法，列方程组求解.

五、耐心解一解，再接再厉（本大题共1道小题，满分9分）

23、（2021•娄底）如图，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=IO,将△ABC

绕点B沿顺时针方向旋转90。得到△AiBCi.

（1）线段AICI的长度是10.ZCBAi的度数是135。.

（2）连接CCi,求证：四边形CBAiCi是平行四边形.

考点分析：旋转的性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定。

专题分析：证明题。

分析：（1）由于将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90。得到△AiBCi,根据旋转的性质

可以得到AiC尸AC,ZCBCi=90°,而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形

的性质即可求出NCBAi的度数；

（2）由/ACB=NCiBC=90。可以得到A©〃BC,又A|Ci=AC=BC,利用评选四边形

的判定即可证明题目的问题.

解答：（1）解：；将4ABC绕点B沿顺时针方向旋转90。得到△AiBCi.

.,.AiCi=10,ZCBCi=90°,

而△ABC是等腰直角三角形，

ZAiBCi=45°,

AZCBAi=135°；

2）证明：•.•/AICIB=NCIBC=90。，

.,.A1C1//BC.

XVAiCi=AC=BC,

四边形CBA1C1是平行四边形.

点评：此题主要考查了旋转的性质，也考查了平行四边形的判定，解题的关键是利用

旋转的性质得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性质加减问题.

六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）

24>（2021•娄底）如图，已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A（xi,0）,

B（x2,0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C,且（X1+X2）-

X|X2=1O.

（1）求此二次函数的解析式.

（2）写出B,C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；

（3）连接BM,动点P在线段BM上运动（不含端点B,M）,过点P作x轴的垂线,

垂足为H,设OH的长度为t,四边形PCOH的面积为S.请探究：四边形PCOH的面

积S有无最大值？加入有，请求出这个最大值；加入没有，请说明理由.

考点分析：二次函数综合题。

分析：(1)由根与系数的关系，得到xi和X2的关系式进而求出m的值，所以可求此

二次函数的解析式；

(2)令y=0解一元二次方程，可求出B,C两点的坐标：把二次函数的解析式为y=-

X2+2X+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标；

(3)过M作MN_Lx轴于N,则ON=1,MN=9,0B=4,BN=3,再由PH〃MN,可求

3

-z

得PH=3BH=3(4-t),所以S=-12+10t=-2x(-1302+等可求出四边形PCOH的面

积S最大值.

1=m

解答：解：(1)由根与系数的关系,得］,

x1x2=-4m.

*.*(X1+X2)-X1X2=1O,

m+4m=10,m=2.

...二次函数的解析式为y=-x?+2x+8.

(2)由-X2+2X+8=0,解得XI=-2,X2=4.

y=-X2+2X+8=-(x-1)2+9.

AB,C,M的坐标分别为B(4,0),C(0,8),M(1,9)

(3)如图，过M作MN_Lx轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3.

VOH=t(l<t<4),.*.BH=4-t.

由PH〃MN,可求得PH=3BH=3(4-t),

.•.S=：(PH+CO)PH

=4(12-3t+8)t

=-|t2+10t(l<t<4).

c3

--(zt-50

t-2x¥)3

〈学〈4.

；.当1=当时，S有最大值，其最大值为尊.

点评：本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一

起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利

用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

25、(2021•娄底)在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,且AD=2,以CD为直径作。Oi,交

BC于点E,过点E作EFJ_AB于F,建立如图所示的平面直角坐标系，已知A,B两点

的坐标分别为A(0,2肉,B(-2,0).

(1)求C,D两点的坐标.

(2)求证:EF为。Oi的切线.

⑶探究：如图,线段CD上是否存在点P,使得线段PC的长度与P点到y轴的距

离相等？加入存在,请找出P点的坐标；加入不存在，请说明理由.

图2

考点分析：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰梯形的性质；圆周角定理;

切线的判定与性质。

专题分析：综合题。

分析：(1)连接DE,由等腰梯形的对称性可知，ACDE也△BAO,根据线