36844676【10】（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练十

2023高考数学基础强化专题训练（十）解析几何1.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）若椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(,3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(,6),3)2.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知点P在椭圆C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)上，点Q在圆F1：(x＋c)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，其中c为椭圆C的半焦距，若|PQ|的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为A．eq\r(,2)－1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)【答案】D3.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)已知F1，F2是双曲线E：EQ\F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在E上，D是线段F1F2上点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，F1D：F2D＝1：2，PD＝4，则当△PF1F2面积最大时，双曲线E的方程A．EQ\F(x\S(2),12)－\F(y\S(2),9)＝1B．EQ\F(x\S(2),9)－\F(y\S(2),12)＝1C．EQ\F(x\S(2),3)－\F(y\S(2),6)＝1D．EQ\F(x\S(2),6)－\F(y\S(2),3)＝1答案：C4.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC，点B(－1，3)，点C(4，－2)，圆M：(x＋3)2＋y2＝4，P(x0，y0)是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D，E．则下列结论正确的是A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1B．圆M上存在点N，使得∠MPN＝eq\f(π,6)C．四边形PDME面积的最大值为4D．直线DE恒过定点答案：ABD5.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）已知O为坐标原点，直线y＝x－eq\f(p,2)与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且△AOB的面积为2eq\r(,2)，则A．y1＋y2＝2B．AB的中点到y轴的距离为3C．点T(－1，2)满足eq\o\ac(\S\UP7(→),TA)·eq\o\ac(\S\UP7(→),TB)＝0D．过点D(－1，y0)(y0∈R)作C的切线，切点为M，N，则O与直线MN距离的最小值为16.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为的重心、内心，若平行于轴，则的外接圆面积为___________.解析：不妨设在第一象限，由于平行于轴，则内切圆半径，又，则=12，又，则.中余弦定理得，，则，则.所以7.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)过抛物线x2＝4y的准线上一点P作抛物线的两条切线，两条切线分别与x轴交于点M，N，则△PMN外接圆面积的最小值为▲．答案：8.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题的一般描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的动点，当C在何处时，∠ACB最大?问题的结论是：当且仅当△ABC的外接圆与OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知A(1，1)，B(3，3)，C(a，0)(a＞0)，则∠ACB最大时，a＝．【答案】eqa＝\r(,6)【解析】由题意得∠ACB最大时，△ABC的外接圆与x轴相切，且C为切点，此时圆心G横坐标为a，且圆心G在线段AB的垂直平分线y＝x＋4上，即圆心G(a，4－a)，半径r为4－a，因为GA＝r，解得eqa＝\r(,6)．9.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）(12分)抛物线，抛物线的焦点是双曲线的右顶点，过点作直线与C交于M，N两点(1)求C的方程．(2)若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，，解得，故C的方程为．…………2分（2）设直线方程为：，直线方程为：，，得，所以………………4分，得，所以………………6分……………8分……………10分假设存在，使得，则………12分10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在抛物线C1：y2＝4x上，圆C2：(x－2)2＋y2＝r2(0＜r＜2)．(1)若r＝1，Q为圆C2上的动点，求线段PQ长度的最小值；(2)若点P的纵坐标为4，过P的直线m，n与圆C2相切，分别交抛物线C1于A，B(异于点P)，求证：直线AB过定点．11.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）(12分)已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值.解：（1）由题意：，则，椭圆的方程为……2分（2）斜率均存在，设直线方程为：，，得，，故，将上式中的换成，则同理可得：，……4分如，得，则直线斜率不存在，此时直线过点，下证动直线过定点.……5分若直线斜率存在，则，直线为，令，得，综上，直线过定点.……7分（3）由第（2）问可知直线过定点，故S△FMN=S△FPM+S△FPN，……10分令，S△FMN，则在单调递减，当时取得最大值，此时S△FMN取得最大值，此时.……12分12.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.（1）求的方程；（2）设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，求出，得到轨迹方程；（2）设出，，，根据角平分线的条件，结合向量投影模长相等得到，从而求出，点坐标，确定直线的方程，由点到直线距离公式求出，再求出直线的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，结合基本不等式求出，最后求出的最大值.【小问1详解】由题意得：，，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，即，所以的方程为；【小问2详解】由对称性，不妨设在第一象限，设，则，设直线的斜率为，记，由为的角平分线，则，其中，，所以，同理得：，，代入中，，化简得：，将代入，中，解得：，所以，，设直线的方程为，将代入，解得：，所以直线的方程为，由点到直线距离公式得：，由直线的斜率为，设直线的方程为，将点代入，解得：，所以直线的方程为，将其与联立得：，设，则，由可知：，又，所以，，由均值不等式，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故，所以，当且仅当时，等号成立，的最大值为.13.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点A(－eq\r(,3)，0)，B(0，－2eq\r(,3))，D(2，1)，三个点中有且仅有两点在双曲线C上．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l交双曲线C于y轴右侧两个不同点的E，F，连接DE，DF分别交直线AB于点G，H．若直线DE与直线DF的斜率互为相反数，证明：|eq\f(|GH|,|EF|)－eq\f(|FH|,|DF|)|为定值．14.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.（1）求的标准方程；（2）直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D得坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）切线方程为，∴，∴，双曲线的标准方程为：.（2）设直线方程为，，.，，∵以为直径的圆过点，∴，，∴当，即时，直线：恒过显然不可能，舍去当即时，直线：恒过.符合取EN中点，∴.或将双曲线平移至即此时平移至，P，Q分别平移至，设直线方程为代入双曲线，∴由代入方程恒过向上平移个单位恒过定点，以下同上.函数与导数1.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为答案：D2.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a，盆地半径为b(0＜b＜a)，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A．eq\r(3,\f(a＋b,2))＜eq\f(\r(3,a)＋\r(3,b),2)B．eq\r(,\f(a＋b,2))＜eq\f(\r(,a)＋\r(,b),2)C．(eq\f(a＋b,2))2＜eq\f(a2＋b2,2)D．(eq\f(a＋b,2))3＜eq\f(a3＋b3,2)答案：D3.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知l1，l2分别是函数图象上不同的两点，处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直并相交于点P，则△PAB的面积的取值范围是（）AB．C．D．4.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知lnπ＞π－2，设，其中e为自然对数的底数，则（）BA．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a5.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)已知a，b＝2ln1.1，c＝0.19，则a，b，c的大小关系正确的是a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a答案：A6.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．答案：D7.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）已知，，，则A.B.C.D.【答案】C【解析】令，，在，，∴，即，即，选C.8.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）设，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【分析】先利用导数证明出，令，可以判断出最小；利用作商法比较出，即可得到答案.【详解】设.因为，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当，且时，，即．所以，，所以最小，又因为，所以．综上可知，．故选：B9.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）已知，则（）A.B.C.D.【答案】AD【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误.C.通过，得到，进而可得与的大小关系,进而可知C选项错误.D.与C选项同样的方法即可判断.【详解】A.令则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故.令则，所以在上单调递减，且即故选项A正确B.令则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故.令所以在上单调递减，且即故选项B错误C.又在单调递增故选项C错误D.由C可知，又在单调递减故选项D正确故选：AD10.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)（多选题）对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－a，以下说法正确的是A．f(x)＋f(2－x)＝－eq\f(4,3)B．当a＜0时，f(x)有三个零点C．f(－2019)＋f(－2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4D．当f(x)有两个极值点x1，x2时，过A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线必过点(1，－eq\f(4,3))答案：AB11.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)已知函数f(x)＝eq\B\lc\{(\a\al((x＋1)e\s(x)－1，x≤0,x\s(2)－2x，x＞0))，(e是自然对数的底数)，若函数f(f(x)－a)＋1＝0有4个不同的零点，则实数a的取值范围是▲．答案：12.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x．若对任意x∈[1，3]，不等式f(x＋a)≤f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是．13.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知函数f(x)＝xlnx＋1，g(x)＝eeq\s(－x)＋ax，若f(x)与g(x)的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围为．14.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为__________.15.(江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题)已知函数.（注：是自然对数的底数），则不等式的解集为______________16.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）(12分)已知函数，其中．（1）若对一切，恒成立，求的值；（2)在函数的图象上取定点，记直线的斜率为k，证明：存在,使恒成立．【解】（1）令．当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值………2分于是对一切恒成立，当且仅当.①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，………5分（2）由题意知，令则…10分令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以………11分因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.………………12分17.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）若对实数x0，函数f(x)，g(x)满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称F(x)＝eq\B\lc\{(\a\al(f(x)，x＜x\s\do(0),g(x)，x≥x\s\do(0)))为“平滑函数”，x0为该函数的“平滑点”．已知f(x)＝ax3－eq\f(3,2)x2＋eq\f(1,2)x，g(x)＝bxlnx．(1)若1是平滑函数F(x)的“平滑点”，(i)求实数a，b的值；(ii)若过点P(2，t)可作三条不同的直线与函数y＝F(x)的图象相切，求实数t的取值范围；(2)对任意b＞0，判断是否存在a≥1，使得函数F(x)存在正的“平滑点”，并说明理由三角函数1.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）在△ABC中，若向量eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)在eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)上的投影向量为eq\f(1,4)eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)，则A－B的最大值为A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,12)【答案】C【解析】设|AB|＝4x，|AB|上的高为y，则eqtanA＝\f(y,x),tanB＝\f(y,3x)，所以taeqn(A－B)＝\f(tanA－tanB,1＋tanAtanB)＝\f(2,3\f(x,y)＋\f(y,x))≤\f(1,\r(,3))，当且仅当eqy＝\r(,3)x时取等，eq(A－B)\s\do(max)＝\f(π,6)2.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在中，角的对边分别为，，，且，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理和面积公式求解.【详解】∵，∴，，又∵，，∴，∴，∴，因为∴，，，．∵，∴，∴．故选:B.3.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）设a＝eEQ\S\UP8(\F(3,4))，b＝eq\f(5,4)，c＝eq\r(,2)coseq\f(π－3,4)，则A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a【答案】B【解析】易知e3＞eq20＞24，则a＝eEQ\S\UP8(\F(3,4))＞2＞eq\f(5,4)＝b，且c＝eq\r(,2)coseq\f(π－3,4)＜eq\r(,2)＜2＜a，故只需比b与c大小，此时由根号和c中分母4联想二倍角公式，因此要比b和c大小，即比较eqb\s\up6(2)＝\f(25,16)和eqe\s\up6(2)＝2cos\s\up6(2)\f(π－3,4)＝cos(\f(π－3,2))＋1＝1＋sin\f(3,2)大小，而明显eqsin\f(3,2)＞sin\f(π,3)＝\f(\r(,3),2)＞\f(9,16),所以c＞b，所以a＞c＞b．4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\o\ac(\S\UP7(→),AB)·eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)＝2，a＝2，则A．b2＋c2＝8B．向量eq\o\ac(\S\UP7(→),BA)，eq\o\ac(\S\UP7(→),AC)夹角的最小值为eq\f(π,3)C．内角A的最大值为eq\f(π,3)D．△ABC面积的最小值为eq\r(,3)5.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）（多选题）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的减区间为D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【解析】【分析】根据三角函数图象的性质即可求解.【详解】∵，∴，∴．又∵，得（舍）或，因为，∴，∴，其图象对称轴为，．当时，，故A正确；∵，，，∴的图象关于点对称，故B正确；∵函数的单调递减区间为，．∴，，∴当时，在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确；∵．故D错误．故选:ABC.6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知eq\f(a,cosA)＋\f(b,cosB)＋\f(c,cosC)＝\f(bsinC,\r(,3)cosBcosC)．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求BC边上的高的取值范围．【解析】eq\f(a,cosA)＋\f(b,cosB)＋\f(c,cosC)＝\f(bsinC,\r(,3)cosBcosC)则eq\f(sinA,cosA)＋\f(sinB,cosB)＋\f(sinC,cosC)＝\f(sinBsinC,\r(,3)cosBcosC)则eqtanA＋tanB＋tanC＝\f(\r(,3),3)tanBtanC因为tanA＝－tan(B＋C)⇒tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，所以eqtanA＝\f(\r(,3),3)⇒A＝\f(π,6).7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，c＝2．(1)若eq\o\ac(\S\UP7(→),CD)＝2eq\o\ac(\S\UP7(→),DB)，eq\o\ac(\S\UP7(→),AD)·eq\o\ac(\S\UP7(→),CB)＝2，求A；(2)若C－B＝eq\f(2π,3)，求△ABC的面积．8.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(1)求角A；(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．解：（1），所以，所以，又，所以，因为，所以．…………4分（2）由（1）可知，．则．………………6分因为锐角三角形，所以，整理得．因为，所以．………………10分令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故的取值范围为.…………12分排列组合、二项式定理1.(江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题)已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（）种.【答案】C【解析】，选C.2.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，则（）A.B.C.D.【答案】CD【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】对于A，令，则，令，则，所以，所以A错误，对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，，，，，所以，，所以，所以D正确，故选：CD统计概率1.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）（多选题）乒乓球(tabletennis)，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f(p)，下列说法正确的是A．三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3B．f(p)的常数项为3C．eqf(\f(1,3))＜f(\f(4,5))D．eqf(\f(1,2))＝\f(33,8)2.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________.【答案】①.②.【分析】根据题意，计算出1-20内与12互质的数，再在这些互质数内，计算出12的二次非剩余数即可.【详解】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以；根据定义，对于整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；；故答案为：.3.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N个字脱落．(1)若N＝3，用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X的分布列及期望；(2)若N＝2，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．4.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）2022世界乒乓球团体锦标赛已于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来，乒乓球运动早已成为我国民众喜爱的运动之一.某次友谊赛，甲、乙两位选手进行比赛，比赛采用5局3胜制，若结果是3：0或3：1，则胜者得3分，负者得0分﹔若结果是3：2，则胜者得2分，负者得1分.根据以往经验，甲乙在一局比赛获胜的概率分别为，，且每局比赛结果相互独立（1）设甲所得积分为，求的分布列及数学期望；（2）由于某种原因，比赛规则改为未满5局已领先2局者获胜﹔若打满5局，仍然没有领先2局者，比赛结束，领先者也获胜，求甲获胜的概率.【解析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3∴的分布列如下：0123∴.（2）甲获胜的情形分为甲连赢两局，甲乙甲甲（甲赢3局，乙赢1局）甲乙甲乙甲（甲赢3局，乙赢2局）∴甲获胜的概率.5.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取300人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于5小时合计50岁以下50岁以上(含50)合计(1)运用独立性检验的思想方法判断：是否有99%以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联?并说明理由．(2)现从20岁以上(含50)的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层抽样法抽取8人做进行一步访谈，最后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间是不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．P(χ2≥x0)x0立体几何1.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）A.B.1C.2D.4【答案】D【分析】由圆锥和球的体积公式列不等式求解【详解】设圆锥的底面半径为，高为，由题意得，即，则，故选：D2.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为（）A.28B.C.32D.24【答案】A【分析】根据正四棱台的性质，结合正四棱台的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示正四棱台中，是高，连接，设，垂足为，显然所以该正四棱台的高为，正四棱台的体积．故选：A3.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】取，，的中点E，F，G连接，，，由中位线定理可得AC与BD所成角为，由几何关系求出三边，结合余弦定理即可求解.【详解】如图，取，，的中点E，F，G连接，，．∵，，∴（或其补角）即为与所成的角．∵平面，∴，∴，则，∵，，．取的中点，连接，，∴，∴平面，∴，又，∴，∴．∴与所成角的余弦值为．故选：C4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为eq2\r(,3)的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为A．eq\f(28\r(,7),3)πB．eq\f(32,3)πC．eq8\r(,6)πD．4eq\r(,3)π5.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）A．在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的最大面积为B．无论点在线段上如何移动，都有C．圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等D．圆柱外接球体积的最小值为【答案】BCD如图所示：设分别为对应棱的中点，易知共面，截面的面积为，A错误；B正确；易知圆柱的母线与平行，由正方体的对称性可知与其每条侧棱间的夹角都相等，C正确；设圆柱底面半径为，则圆柱的底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段上，设在上的切点为，为圆柱的一条高，根据对称性知：，则圆柱的高为，，外接球体积的最小值为，D正确6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E为A1D的中点，则A．B1E⊥A1CB．BE与B1C所成的角为eq\f(π,3)C．四面体A1EBC1的体积为eq\f(1,6)D．A1C与平面ABC1D1所成的角为eq\f(π,6)7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）（多选题）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是A．MG的最小值为eq\f(\r(,3),6)B．若MA＋MG＝1，则点M的轨迹是椭圆C．若MA＝eq\f(\r(,15),6)，则点M的轨迹围成图形的面积为eq\f(π,12)D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°8.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）（多选题）在正方体中，，则下列说法正确的是，则，为线段上的动点，则四面体的体积为定值，，为线段的中点，则，则线段AP的长度为定值【答案】ABD【解析】设正方体的边长为1，如图建系.，∴对于A，时，，，，A对.对于B，时，，∴P在上，平面，∴B到平面的距离与Р到平面的距离相等，而的面积为定值，则四面体为定值，B对.对于C，，，BP与AR不平行，C错.对于D，，，∴，D对，选ABD.9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在棱长为2的正方体中，为BC的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段MN的最小值为______．【答案】【分析】作出正方体，取的中点P，的中点，连接，，，易证平面平面，进而判断，由几何关系求得三边长，易判断到直线距离为线段MN的最小值，结合三角函数得解.【详解】取的中点P，的中点，连接，，，如图所示．∵P，N分别为，的中点，∴，又平面，平面，平面，P，Q分别为，的中点，∴．又，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，又点在平面内运动，∴点在平面和平面的交线上即．在中，，，．∴，∴，∴点到的最小距离，∴线段的最小值为．故答案为：10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M，N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧．(1)求证：四边形ANCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．11.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．(1)求证：PA⊥CD；(2)连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．12.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）证明：平面；（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先做一条辅助线，再通过面面垂直性质得到平面，再根据平面，可得，进而根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）过点作交与点,连接,通过题目条件和小问1结论证明四边形为平行四边形，然后把多面体分为两个三棱锥求体积，令，把求体积的最大值转化为求关于的函数的最大值.构造函数，通过导函数判断其单调性，进而得到的最大值，求出此时的值.然后以点为原点建立空间直角坐标系，通过向量法求与所成角的正切值.【小问1详解】过点作交与点，平面平面，且两平面的交线为平面又平面又且平面【小问2详解】过点作交与点,连接平面平面，且两平面的交线为平面又平面到平面的距离相等且，平面又，令则，.所以在上单调递增，在上单调递减，即，当且仅当时取得最大值.如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，所以.设与所成角为，则，则，即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6.13.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝2eq\r(,3)，M是线段PC上的一点(不与端点P，C重合)．(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)若点M是线段PC上靠近C的三等分点，求锐二面角M－BD－C的大小．14.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．（1）证明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角的余弦值最大．【答案】（1）证明见解析（2）为的中点【分析】（1）要证CD⊥平面AEF，即证，由BD⊥CD可证，由△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，可证，进而得证；（2）过点作，垂足为，设，以为正交基底，建立空间直角坐标系，设，求出平面AEG与平面ACD的法向量，结合向量夹角的余弦公式和函数关系求出，进而得出点G位置.【小问1详解】因为是正三角形，点是的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为，所以，又因为，在平面内，所以平面；【小问2详解】在平面中，过点作，垂足为，设，则，，．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，．设平面的法向量为，由，得，令，故，设平面的法向量为，则，即，令，则．设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以，当时，，此时最大，故当为的中点时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．数列1.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为A．1B．C．3D．4答案：B2.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在数列{an}中，sin(an＋1－an)sin(an＋1＋an)＝eq\f(1,10)，则该数列项数的最大值为A．9B．10C．11D．123.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）意大利著名数学家斐波那在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则斐波那契数列中，A.B.C.D..【答案】D【解析】，选D.4.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）在数列eq{a\s\do(n)}中，已知a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列，其中n∈N*，则下列说法正确的是（）ACDA．当d＝1时，a20＝20B．若a30＝70，则d＝2C．若a1＋a2＋…＋a20＝320，则d＝3D．当0＜d＜1时，a10(n＋1)＜eq\f(10,1－d)5.(盐城市2022-2023高三年级第一学期12月初调研考试数学试卷)（多选题）【答案】CD解：A：32n−32(n−1)=B：an-an-1C：由题{an}是等差数列，且an=a1+(n?1)p，所以an=[a1+(n-1)p]2，所以aD：由题意，an-an-1=p且an-an-1=m，m为常数，则m=p(an+an-1)，所以m,p≠0时故选：CD6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知函数f(x)的定义域R，f(0)≠0，f(1)＝eq\r(,2)，且f(x＋y)＝f(x)f(y)，若数列{an}是首项为0，公差为2的等差数列，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝．【答案】1023【解析】f(x＋y)＝f(x)f(y)，令x＝y＝0得f(0)＝1，令y＝1得到feq(x＋1)＝\r(,2)f(x),即eqf(x＋2)＝\r(,2)f(x＋1)＝2f(x),所以f(eqx＋4)＝2\s\up6(2)f(x),f(x＋6)＝2\s\up6(3)f