安徽理工大学有限元分析复习重点

2222有限元基本思路就是将复杂的结构看成由有限个单元仅在结点处连接的整体,首先对每一个单元分析其特性,建立相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间的联系，再将备单无组装成整体，从而获得整体特性方程，再应用方程相应的解法,即可完成整个问题的分析。位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）1.结构离散化2•确定单元位移问题3•单元特性分析4•按离散化情况集成所有单元的特性建立表示整个结构结点平衡的方程5•解方程组和输出计算结果形函数定义于单元内部的、坐标的连续函数，它满足下列条件：1）在节点i处，Ni=1；在其他节点处，Ni=O；2）能保证用它定义的未知量（u、v或x、y）在相邻单元之间的连续性；3）应包含任意线性项，使用它定义的单元唯一可满足常应变条件；4）应满足下列等式：ZNi=1o有限元有整体坐标，局部坐标两者的坐标原点不同，局部坐标可以理解为相对坐标，是建立在全局坐标基础上的单元刚度矩阵特征：1对称性2奇异性3主对角元素恒正结构刚度矩阵的特征：1、对称性2、奇异性3、主对角元素恒正4稀疏性5非零带状分布对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为1）建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，（2）区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。（3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。（4）单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数（即单元中各节点的参数值）的代数方程组，称为单元有限元方程。（5）总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。（6）边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件（狄里克雷边界条件）、自然边界条件（黎曼边界条件）、混合边界条件（柯西边界条件）。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。（7）解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。位移模式要反应单元的刚体位移。要反应单元的常量应变。能反应位移的连续性。提高有限元法计算精度的方法有哪些?1,划分网格密集，合理2，提高位移函数精度3，采用曲线边界的等参单jm为什么逆时针若不按顺序，用矩阵求面积a可能为负值

一、如图所示桁架结构，各杆的弹性模量为E=2xlO4MPa，截面积为A=0.4m2。各杆件长度、单元编号和局部坐标系方向如图所示。试求（先处理法和后处理法均可）桁架结构的结点位移。（20分）20000Nm_1-118x20000Nm_1-118x103-1-11-112迈-11局部坐标系下单元刚度矩阵：二2.2x103厂EAk1二一l-11MN/m单元1单元1，a=45o，九('2/2^;2/2)，整体坐标系下单元刚度矩阵：EAt—t8x103t—t—2j2x103t—tk1—l—tt2j2—tt—ttk1=Trk1T，MN/mcccs「1/21/21csss1/21/2其中t==(=(1,0)，T=「1—118x103「1—11—4x103「1—11—112—11—11MN/mEAk2二-l01整体坐标系下单元刚度矩阵：EA「t—t1「t—t1k1——4x103l—tt—ttk1=Trk1T，MN/mcccscsss1000整体单元刚度方程等于：k1k11112kiki+k2212222k212k2A=P21k211k1k11112k1k1+k2212222k212k221k211「5]1

品[253「Pd1[P>d2Pd3由于5［和53为零，因此整体刚度方程处理得到:(ki+k2)5=P22222d2V2一2"2ZQ22*103+0*103)252{-2：000}辽+22~2~2<2~2*103)252[-2：oo}u二200000二0.5*10-5,v二一1v'2200000-100000=—1.914*10-5二、如图所示考虑轴向变形的平面刚架结构，各杆的弹性模量为E=4XlO4MPa，截面积为A=0.06m2，惯性矩I=2x10-4m4。各杆件长度、单元编号和局部坐标系方向如图所示。(1)求单元①的整体坐标系下的单元刚度矩阵ke；(i5分)(2)求结构的直接结点荷载列阵Pd和等效结点荷载列阵PE，并计算出综合结点荷载列阵P=P+P。(20dE分)3kN4kN/m3kN4kN・m4m90°O4m解答1)计算单元刚度矩阵各元素和局部坐标系下单元刚度矩阵EA4x104x103x0.06=6xl05kN/m；1)l412EI12x(4x104x103kN/m2)x2x10-4m43kN==—X103——l364m32m(1分)1分)64m31分)丝=6x(4x104x103kN/m2)x2x10-4m4=3xi03kN1216m2也=4x(4x1°4x1°3kN/m2)x2x10-4m4=8x103kN•m14m1分)型=2x(4x104x103kN/m2)x2x10-4m4=4x103kN•m14m1分)将参数代入局部坐标系下单元刚度矩阵，得20000-2000001210-1/21018/30-14/3-20000200000-12-1012-1014/30-18/3k①二3X1032）整体坐标系下单元刚度矩阵：4分）3)单元①，a=90,c=COSa=0,s=-010000「-100000=1,・•・T=001000（2000010000-100000001dd6dd61x1y12x2y2「1201-1201-d1x020000-2000d1yk①=Tt£①T=3x103108/3-104/361-120-1120-1d2x0-200002000d2y104/3-108/362分）2）求综合结点荷载矩阵4分）P=(0,0,0,3kN,3kN,-4kN-m,0,0,0)td分）FeE=：qNtdx=-4kNmx4mxf101-3g2+2g3

叱(1-g)2

g2(3-2g)

-lg2(1-g)-8kN16kN•m3-8kN16kN•m3P=(0,0,0,0,-8kN,-16KN•m,0,-8kN,16KN•m)rE33得P=P+P=(0003kNdE28-5kN-—kN•m0

30-8kN167科

kN-m30-8kN167z—kN-mI3-8kNTkN•m)T8分）2分）223232分）3、如图所示，三角形板单元的1点固定，2点发生竖直向下的位移v2=-2Xl0-sm,3点发生水平向右的位移u3=lXlO-3m；以一个常应变三角形单元求出板内P点的位移。（20分）m32mm32md二NeA=26=(u,v,u,v,u,v)t=(0,0,0,-2x10-3,1x10-3,0)teiijjkkN=(NI,NI,NI)TOC\o"1-5"\h\z122232d=N6=(Nx10-3,-2Nx10-3)Te3212A(a12A(a2+b2X+C2y)=2(X-y)1y1N=(a+bx+cy)==—32A33324d=N\=(4x10-3,#x10-3)T(方向向下也可用-号表示)

四、如图所示的三角形单元jjk,在ij边P点作用一竖直向上的集中力Fp,ki边上作用有非均布水平面力,试求其等效结点荷载矩阵。（25分）yya=xy一xyaa=xy一xya=8a=1a=—3ijkkjijkbi=y一-yi——>b=-2；b=2；b=°jkijkci=x一xc=°c=—3c=3kjijk14—xN(a+bx+cy)解：（1）求三角形面积A和形函数N.：i三角形面积A=3(abx十cy丿二i2Aiii312A（1分）（2分）2分）（2分）(a+bx+cy)=(1+2x一3y)jjj61y一1N=(a+bx+cy)=k2Akkk2（2）集中荷载作用下的等效结点荷载作用点P（3,1），x=3,y=1，相应的1N二（1分），i32N.=（1分），j31分）Fe=iNTFedA二(NI,NI,NI)TJ°!J°EAb122232IFII分）（3）非均布荷载等效结点荷载沿k边的非均布荷载表达式为：F：十2q-影1J2分）在k