函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

一、选择题1．(文)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如图，那么ω＝()A．1 B．2\f(1,2) \f(1,3)[答案]B[解析]由图像可知，该函数的周期T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.故选B.(理)(教材改编题)若f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像(部分)如下图所示，则ω和φ的取值可能是()A．ω＝1，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,3)C．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6) D．ω＝eq\f(1,2)，φ＝－eq\f(π,6)[答案]C[解析]∵eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝π，∴T＝4π，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(1,2)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).又图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，∴0＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))，∴－eq\f(π,6)＋φ＝kπ.由图知k＝0，∴φ＝eq\f(π,6).2．将函数y＝sinx的图像上所有的点向右平行移动eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20)))[答案]C[解析]3.下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变B．向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[答案]A[解析]本题考查了三角函数的性质及图像的平移．由题知函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(5,6)π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，A＝1，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，故将y＝sinx的图像先向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，故选A.4．函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－2的图像F按向量a平移到F′，F′的解析式y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，则向量a可以等于()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，－2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，2))[答案]D[解析]本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质．A中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2－2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－4，∴不是奇函数，故排除A；B中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2＋2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴不是奇函数，故排除B；C中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2－2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))－4，∴不是奇函数，故排除C；D中得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))－2＋2＝－sin2x，∴是奇函数，所以选D.5．(2022·枣庄二模)如下图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为()A．6eq\r(3) B．3eq\r(3)C．3 D．6[答案]A[解析]∵s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，∴T＝eq\f(2π,ω)＝1，从最左边到平衡位置O需要的时间为eq\f(T,4)＝eq\f(1,4)秒，由6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×\f(1,4)＋\f(π,6)))＝3eq\r(3)，得从最右边到最左边的距离为6eq\r(3).6．(文)(2022·新课标文，11)设函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))＋cos(2x＋eq\f(π,4))，则()A．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递增，其图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称B．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递增，其图像关于直线x＝eq\f(π,2)对称C．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递减，其图像关于直线x＝eq\f(π,4)对称D．y＝f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递减，其图像关于直线x＝eq\f(π,2)对称[答案]D[解析]本题主要考查了两角和的正弦余弦公式、三角函数图像性等．此类题目应先化简函数解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式再求解．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)cos2x.则函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递减，其图像关于x＝eq\f(π,2)对称．(理)(2022·新课标理，11)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递减B．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))单调递减C．f(x)在(0，eq\f(π,2))单调递增D．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))单调递增[答案]A[解析]本题主要考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝eq\r(2)sin(ωx＋φ＋eq\f(π,4))，又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋φ＋eq\f(π,4))又f(x)为偶函数，∴φ＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ＋eq\f(π,4).又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\r(2)cos2x.又y＝cosx在x∈(0，π)单调递减，则由0<2x<π得0<x<eq\f(π,2).即f(x)＝eq\r(2)cos2x在(0，eq\f(π,2))单调递减，故选A.二、填空题7．如下图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．[答案]y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(3π,4)))[解析]A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，T＝eq\f(4π,3)，∵eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(3,2)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋φ)).∵当x＝eq\f(5,6)π时，y＝2，∴2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\f(5,6)π＋φ))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5,4)π))＝1，∴φ＋eq\f(5,4)π＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(3π,4)，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(3π,4))).8．(文)(2022·东营模拟)已知函数f(x)＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25π,6)))＝________.[答案]0[解析]方法一：f(x)＝－eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6)π))＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\f(26,3)π＝－eq\f(\r(3),2)＋sineq\f(2π,3)＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝0.方法二：当x＝eq\f(25π,6)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,6)π))＝－eq\r(3)sin2eq\f(25π,6)＋sineq\f(25π,6)coseq\f(25π,6)＝－eq\r(3)sin2eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝0.(理)函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))的对称中心是________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0))，k∈Z[解析]由eq\f(x,2)－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z得eq\f(x,2)＝eq\f(π,6)＋kπ.∴x＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0)).三、解答题9．(2022·重庆理，16)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(eq\f(π,2)－x)满足f(－eq\f(π,3))＝f(0)，求函数f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值和最小值．[解析]f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝eq\f(a,2)sin2x－cos2x，由f(－eq\f(π,3))＝f(0)得－eq\f(\r(3),2)·eq\f(a,2)＋eq\f(1,2)＝－1，解得a＝2eq\r(3).∴f(x)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6))，当x∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]时，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]，f(x)为增函数．当x∈[eq\f(π,3)，eq\f(11π,24)]时，2x－eq\f(π,6)∈[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]，f(x)为减函数．∴f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(11π,24)]上的最大值为f(eq\f(π,3))＝2，又f(eq\f(π,4))＝eq\r(3)，f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2)，∴f(x)的最小值为f(eq\f(11π,24))＝eq\r(2).一、选择题1．(2022·天津文，7)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数[答案]A[解析]本题考查正弦型函数的图像与性质．由题意得T＝eq\f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq\f(1,3).∵x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值．∴eq\f(1,3)×eq\f(π,2)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3)))∴f(x)的单调增区间为[－eq\f(5,2)π＋6kπ，eq\f(π,2)＋6kπ](k∈Z)．∴f(x)在区间[－2π，0]是增函数．2．(文)(2022·广州五校联考)若将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图像重合，则ω的最小值为()\f(1,6) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,2)[答案]D[解析]本题考查正切函数的图像的平移变换．将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到的函数为y＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋\f(π,4)))，由题意，得－eq\f(ωπ,6)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，∴ω＝eq\f(1,2).(理)已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为()A．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2))) B．y＝f(2x－1)C．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1)) D．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,2)))[答案]B[解析]由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍得到，即y＝f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．二、填空题3．(2022·江苏卷，9)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如下图所示，则f(0)的值是________．[答案]eq\f(\r(6),2)[解析]由图像可知，A＝eq\r(2)，eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，∴ω＝2，则y＝eq\r(2)sin(2x＋φ)，将(eq\f(7,12)π，－eq\r(2))代入，解之得φ＝eq\f(π,3)，从而y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,3))，f(0)＝eq\f(\r(6),2).4．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤eq\f(π,2))是定义域为R的奇函数，且当x＝2时，f(x)取得最大值2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.[答案]2±2eq\r(2)[解析]由题意知：φ＝0，A＝2，∴f(x)＝2sinωx又当x＝2时，f(x)取得最大值2，∴2ω＝eq\f(π,2)＋2kπ，∴ω＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，令k＝2n，则f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2nπ))x，∵n∈Z，x∈Z，∴f(x)＝2sineq\f(π,4)x.由函数周期性可得：f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2eq\r(2)同理，当k为奇数时可得：f(1)＋f(2)＋…f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2－2eq\r(2).三、解答题5．(2022·湖南理，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求eq\r(3)sinA－cos(B＋eq\f(π,4))的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．[解析](1)由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0<A<π，所以sinA>0，从而sinC＝cosC，又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，B＝eq\f(3π,4)－A，于是eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(3)sinA－cos(π－A)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6))).因为0<A<eq\f(3π,4)，所以eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(11π,12)，从而当A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(π,3)时，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))取最大值2.综上所述，eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))的最大值为2，此时A＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(5π,12).6．(文)已知向量m＝(sinωx＋cosωx，eq\r(3)cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω>0，函数f(x)＝m·n，若f(x)相邻两对称轴间的距离为eq\f(π,2).(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S＝5eq\r(3)，b＝4，f(A)＝1，求边a的长．[解析](1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))，由题意可得T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝1时，f(x)有最大值2，∴2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，∴x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴x的集合为{x|x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z}．(2)f(A)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝1∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)0<A<π，∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，∴A＝eq\f(π,3)，S＝eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝5eq\r(3)，∴c＝5，由余弦定理得：a2＝16＋25－2×4×5coseq\f(π,3)＝21，∴a＝eq\r(21).(理)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图像不相切．[解析](1)令2×e