一种基于curvee阈值的图像复原和分解新模型

一种基于curvee阈值的图像复原和分解新模型

1图像变分与图像重构图像分解是处理图像中最近出现的重要和挑战的任务，可以概括为数学上的反问题类别。假设已知图像f：r可以分为两个部分：u和v（即f.u和v）。其中u是图像的f结构，其中包含图像的主要几何特征信息。这项任务首次被Meyer从理论的角度进行阐明,建立了基于ROF全变差极小化框架下的振荡函数建模理论.该理论认为有界变差函数空间(简称BV空间)对纹理图像不是理想的函数空间,必须通过与BV空间在一定意义上的对偶空间来对纹理进行建模.然而,由于Meyer的这种理论模型没有标准的Euler-Lagrange方程,因此在实际应用中很难直接求解.2002年,Vese-Osher在文章中第一次提出了逼近Meyer理论模型的方法(简称VO模型):式中,f∈L2(Ω),Ω⊂R2,v=divg,其中g=(g1,g2),g1,g2∈Lp(Ω).同时,Osher等人继续拓展VO模型,建议用H-1范数来刻画v(简称OSV模型),假设p=2,则v可用下式表达:接着,Lieu-Vese提出用更一般的H-s范数刻画v:(∫Ω(1+|ξ|2)-s|ˆv|2dξ)1/2=∥v∥Η-2(Ω),s＞0(3)由式(2)的假设,式(1)可简化为:但是,遗憾的是这些模型的极小化通常需要求解复杂的非线性偏微分方程(PDE).因此,为了降低数值复杂度,Daubechies-Teschke建议在小波域中求解问题(4)(简称DT模型):即用Besov半范数|·|B11,1(Ω)来取代全变差范数∫Ω|∇u|,有扩展式(5)的应用范围:用式(3)的H-s范数代替H-1范数,有:infu,vFf(u,v)=∥f-Κ(u+v)∥2L2(Ω)+γ∥v∥2Η-s(Ω)+2α|u|B11,1(Ω)(6)其中,α和γ是调整参数,s>0.式(6)是在小波域中求解变分问题.但是,利用小波对图像进行多分辨率分解时,存在着两个主要问题:(1)二维小波基具有正方形的支撑区间,用小波逼近奇异曲线最终表现为用“点”来逼近“线”的过程,为满足一定的精度,必须采用更多的小波系数来表示奇异曲线,而采用Curvelet来逼近奇异曲线时,只需要少数几个系数就可以达到所需要的精度.(2)对于二维图像,常用的二维小波是一维小波的张量积,而二维小波基是“各向同性”的,因此无法精确地表达边缘的方向.解决这个问题途径之一是寻找更适合图像分析的多分辨率分解与重构方法,其中之一是Curvelet框架.Curvelet变换(第一代Curvelet变换)是由Candès等人提出的,其变换的核心是Curvelet基支撑区间满足width≈length2,也就是说Curvelet基支撑区间表现为“长条形”,其实际是“方向性”的一种体现,从而使得用更少的Curvelet变换系数来逼近奇异曲线.本文研究的是二代Curvelet变换,它比一代Curvelet形式上更简单,更容易实现.众所周知,小波扩展的稀疏性可以用Besov空间的光滑模来度量,但是,Curvelet的频域分解不同于小波的二进分解,因此Curvelet扩展的稀疏性不能在经典的光滑空间(Besov)里描述.本文根据文献中定义的分解空间Gβp,q和Besov空间之间的嵌入关系,以及Curvelet系数的稀疏性可以在空间Gβp,q上刻画这个性质,将变分问题(6)在Curvelet域下研究,提出了一种新模型,克服了DT模型出现的图像边缘模糊的不足.整篇文章是按照下面的结构组织的.在第二节中,给出了第二代Curvelet的构造以及它所对应的稀疏空间.第三节主要是提出了一种基于Curvelet阈值的变分图像复原和分解方法.在第四节中,用新模型给出了图像分解、去噪和去模糊的实验结果,并且将新方法与传统的分解方法作了比较.最后,在第五节中给出了结论.2curelet空间假设v是一个偶的、光滑的窗函数,它的支撑区间在[-π,π].当θ∈[0,2π],它满足:|v(θ)|2+|v(θ-π)|2=1当j≥0,l=0,1,…,2?j/2」-1时,定义vj,l(θ)=v(2?j/2」θ-πl).假设w是一个光滑的紧支撑函数,满足|w0(t)|2+∑j≥0|w(2-jt)|2=1,t∈R其中w0是一个支撑在原点邻域的光滑函数.当j≥2,l=0,1,…,2?j/2」-1,令定义μ=(j,l,k):j≥0为尺度参数;l=0,1,…,2?j/2」-1为方向参数;k=(k1,k2),k1,k2∈Z为平移参数.令指标集J=(j,l),旋转角θj=π,l,2-?j/2」.当j≥2时,w(2-j|ξ|)vj,l(2?j/2」θ)的支撑区间包含在一个矩形Rj=I1j×I2j里,其中:Lj=δ1π2j,lj=δ22π2j/2.设˜Ι1j=±Ι1j,定义˜Rj=˜Ι1j×Ι2j,则L2(˜Rj)的正交基为:最后,定义:ˆϕμ′(ξ)=kJ(ξ)uj,k(RΤθjξ),μ′=(j,l,k)其中:μ′:={λ=(j,l,k):j≥2,l=-2?j/2」,…,2?j/2」-1,k∈Z2},RθJ为角度θJ的旋转矩阵.令ϕ^μ1(ξ)=2πk1(ξ)uk(ξ),其中:μ1:={λ=(1,0,k):k∈Z2},k12(ξ)=w02(|ξ|)+w2(|ξ|)+w2(|ξ|/2),uk(ξ)=(2πδ0)-1·ei(k1ξ1/δ0+k2ξ2/δ0),δ0>0为常数.对任意函数f∈L2(R2),有下面的等式成立:∑μ|〈f,ϕμ〉|2=‖f‖L2([ΚX(]R[ΚX)]2)2(7)因此Curvelet系统{ϕμ}μ是L2(R2)上的一个紧框架,并且有重构公式f=∑μ〈f,ϕμ〉ϕμ.在文中,Borup-Nielsen重构了一类Curvelet类型的紧框架,这类紧框架形成了Curvelet类型的分解空间-Gp,qβ的原子分解.值得注意的一点是这类紧框架与第二代Curvelet非常相似,它们相对应的稀疏空间是相同的,因此Curvelet系数的稀疏性可以在分解空间-Gp,qβ上刻画:‖f‖Gβp,q≈(∑(j,l)2jq(β+32(12-1p))(∑k|〈f,ϕj,l,k〉|p)q/p)1/q(8)其中:0<p≤∞,0<q<∞,β∈R.众所周知,Besov空间是用一个适应二进频率带{x∈R2:2j≤|x|<2j+1}的单位分割定义的,而Curvelet频率空间的分割可看作是Besov空间的一个改进,下面给出这两个空间之间的嵌入关系:引理1对于0<p≤∞,0<q<∞和β∈R,有下面的嵌入关系式成立Bp,qβ+s(R2)|→Gp,qβ(R2)其中s=1/(2q).同样地,Gp,qβ(R2)|→Bp,qβ-s′(R2)其中s′=(max(1,1/p)-min(1,1/q))/2.由泛函空间的知识知:当p=q=2时,Besov空间B2,2β(Ω)就是Bessel势位空间Hβ(Ω).类似于Bessel势位空间Hβ(Ω)的特殊情况,Besov空间Bβp,p(Ω)在β<0时可以看作是Bp′,p′β′(Ω)的对偶空间,其中,β′=-β,1/p+1/p′=1.本文我们所感兴趣的空间是B1,11(Ω)和H-s(Ω)=B2,2-s(Ω).由引理1可得出这两个空间与分解空间Gp,qβ之间的嵌入关系:G1,11(Ω)|→B1,11(Ω)|→G1,11/2(Ω)以及G2,21/4-s(Ω)|→B2,2-s(Ω)|→G2,2-s-1/4(Ω).3cur岩-s-1/4条件下的变分问题因为空间G1,11/2和G2,2-s-1/4比空间B1,11和H-s大,并且有较弱的范数,所以在这里用空间1,11/2和G2,2-s-1/4分别代替空间B1,11和H-s(Ω),得到Curvelet框架下的变分问题:infu,vFf(u,v)=∥f-Κ(u+v)∥L2(Ω)2+γ∥v∥G2,2-s-1/4(Ω)2+2α∥u∥G1,11/2(Ω)(9)下面分两种情形对式(9)进行求解:(1)K为恒等算子(2)K不是恒等算子.3.1ffu,v/ffu,v/ffu.当K为恒等算子时,式(9)转化为:infu,vFf(u,v)=∥f-(u+v)∥L2(Ω)2+γ∥v∥G2,2-s-1/42(Ω)+2α∥u∥G1,11/2(Ω)(10)因此有下面的命题成立:命题1假设给定函数f∈L2(Ω),则变分问题(10)的最小解是一类由f的Curvelet序列组成的函数(u˜)γ,α和(v˜)γ,α:其中:α和γ是两个正参数,T=α.2-|λ|/4(1+γ.2|λ|(-2s-1/2))/(γ.2|λ|(-2s-1/2)),ST是阈值为T的软阈值算子.证明:求解变分问题(10)即是要最小化函数Ff(u,v).根据式(7)和式(8),Ff(u,v)中的对应范数可表示为:其中:fλ,uλ,vλ是第λ个Curvelet系数.将式(11)代入式(10)中,则Ff(u,v)等价为下列函数的序列和:3.2类变量al1当K不为恒等算子时,即求解变分问题(9),这将导致一个关于uλ和vλ耦合的非线性方程.下面引入替代函数消除K*K(u+v)的影响,其中K*为K的伴随算子.因为K可以被正则化,所以不失一般性限制‖K*K‖<1.对于函数a∈L2(Ω),式(9)中变分函数的替代函数为:下面通过迭代算法逼近函数Ff(u,v)的最小值,该迭代算法可表示为:根据迭代算法式(17),有下面的命题成立:命题2假设K为线性有界算子,且‖K*K‖<1,函数f∈L2(Ω),则迭代算法(17)的第n次迭代的最小值(un,γ,α,vn,γ,α)为其中:an-1=un-1,γ,α+vn-1,γ,α,T=α.2-|λ|/4(1+γ.2|λ|(-2s-1/2))/(γ.2|λ|(-2s-1)/2).4dt模型去噪结果这部分用Matlab编程语言给出Curvelet变分模型(9)在图像分解、去噪和去模糊中的数值实验结果.首先,对于图像分解成结构和纹理的实验,我们选取Barbara的截取图做代表,如图1.图2是新模型(10)、DT模型(5)、OSV模型和VO模型将图1分解成结构u和纹理v的结果.由此可见,新模型可以有效地分解图像;DT模型在边缘保护方面不如新模型;OSV和VO模型分解后的结构仍含有纹理部分.接下来验证新模型(10)的去噪性能.选取被高斯白噪声(σ=20)污染的Lena图像作代表,见图3(a)～(b).图3(c)给出的是新模型(10)选取参数s=1/2;α=5;γ=0.5后相应的去噪图像u,图3(d)是DT模型的去噪结果.由图3(e)～(f)的局部放大图可以得出,新模型可以在去噪的同时保持图像的细节特征.表1给出的是选择不同参数去噪后的均方根误差(RMSE)、峰值信噪比(PSNR)和运行时间的比较结果.这些实验结果说明:虽然新模型(10)在运行时间上比DT模型有所增加,但它可以有效地去噪,使得去噪后的图像有着较好的视觉质量.假设输入图像的大小为M×M,则文中的均方根误差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)是按照下式定义:RMSE=∑i=1Μ∑j=1Μ(u¯i,j-ui,j)2/Μ2;PSNR=10lg(2552/RMSE2)其中:u¯和u分别为原始图像和处理后的图像,i=1,2,…,M;j=1,2,…,M.图4是用迭代算法(17)验证Barbara截取图的去模糊结果.实验选择K为1×9高斯卷积算子,模糊图像的RMSE=29.0098.去模糊后图像的RMSE=6.1299,选择的参数为s=1;α=5;γ=0.5.从视觉效果上看,图4的去模糊图像比模糊图像有较大的提高.最后一个实验是先对原始的Baboon图像通过7×7高斯卷积算子进行模糊,然后加上标准差σ=10的高斯噪声,模拟出既被模糊又被噪声污染的图像,模糊图像的RMSE=27.7081.用新模型得到去模糊后图像的RMSE=16.4683,选择的参数为s=1;α=5;γ=0.5;用DT模型得到去模糊后图像的RMSE=17.1907,选择的参数为α=5;γ=0.5.5cur经营的et模型本文提出了一类基于Curvelet阈值的图