2022-2023学年广东省阳江市海陵中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年广东省阳江市海陵中学高三数学理月考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.给出下列关于互不相同的直线加、？、"和平面尸的四个命题：

①若冽ua,＜，点4©冽，则？.与次不共面；

②若掰、，是异面直线，用〃a,且耳JJ,nLm,则"_La；

③若///a,mH"&〃民则〃/次；

④若/ua,刑ua,/Pl加=4〃/尸，冽〃尸，则&〃#,

其中为真命题的是

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②.③

参考答案：

C

’04x52,

2.设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此点

到坐标原点的距离大于2的概率是

nJT-2n4-n

(A)4(B)2(C)6(D)4

参考答案：

D

0<x£2

(

L'题目中1°£A02表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在

3

2x2--7T2A_

P=-------=_

的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

故选Do

JI

3.己知sin6+COS6=5,8G（0,外），则tanS的值为

43

B.-4

A.~3C.3或3D.3或4

参考答案：

A

略

n③1

a=：cos2a=—

4."6"是"2"的

A.充分而不必要条件必要而不充分条件

C.充分必要条件既不充分也不必要条件

参考答案:

略

5.设。=R,4=（x|x>0）,5=（x|x>l）,则4ng/）=

力8.{X|°<XMDC.*|X<0}R{X|X>D

参考答案：

B

略

6.“a=3”是“设函数/（x）=|x+l|+|x-a|的图象关于直线x=i对称,，的（），

力充分不必要条件8.必要不充分条件

C充要条件。既不充分也不必要条件

参考答案：

C

7.已知集合Z&3,'z）（其中，为虚数单位），月={4},则复数z

为

A.B.2ic.~4iD.4a

参考答案：

c

8.已知函数f（x）在K上可导,则“八。）=°”是“（不）为

函数/（*）的极值”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

参考答案：

C

由“八。）=0”不可以推出为函数/（X）的极值”，同时由“八不）为函数

的极值”可以推出，所以"3=0”是“小。为函数的

极值”的必要不充分条件.故答案选c.

9.已知理•"是两条不同直线，a/.，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A.若冽/a,N#a.则加步”B.若a，匕万则a/尸

c.若加/a.m/£,则a/尸D若冽《La.NJLa则惬#n

参考答案：

D

略

10.设「二作旧二一上+1,xeR},Q={y\y=^,xGR},则

(A)PQQ(B)gP

(C)RPQQ(D)QGRF

参考答案：

C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

RtMBC^,3>1。瓦斜边上的高为配则4=口+-^,

11.在%CACB类比此性质，如下

图，在四面体P-ABC中，若PA,PB,PC两两垂直，底面成上的高为h,则得到的正

确结论为____________________________________

B

参考答案:

111

答案：丽丽记

j伙「超收-2）

12.已知随机变量自服从二项分布3的值为

参考答案：

80

243

略

13.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是

参考答案:

7

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】空间位置关系与距离.

【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，计算出柱体的

底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案.

【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以侧视图为底面的柱体,

17

棱柱的底面积S=2X2-2X1X1=2,

棱柱的高h=2,

故棱柱的体积V=Sh=7,

故答案为：7；

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形

状是解答的关键.

_L._L

14.直线ax+2by+2=0与圆x2+y2=2相切，切点在第一象限内，则a'b’的最小值

为—,

参考答案：

9

2

【考点】直线与圆的位置关系.

2

【分析】由题意可得a>0,b>0且即3+痣2=血.故有a2+4b?=2,再利用基本不等式

99

求出”b2的最小值.

【解答】解：若直线ax+2by+2=0与圆x?+y2=2相切于第一象限，则a>0,b>0且圆心到

2

直线的距离等于半径，即Va2+4b2=V2.

故有a2+4b2=2,

2,2

1A_A19

)(a2+4b2)=2(5+b+a')>2(5+4)=2,

99-19—

当且仅当a=2b时，等号成立，即ab’的最小值为2,

_9

故答案为万.

X+2=1

<2x+1ysm6+攵=2

15.若关于％的三元一次方程组xsm"+z=3有唯一解，则6的取值的集

合是-------------------.

参考答案:

(0\9^kn+^,keZ]

16.已知数列｛O・｝的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列kJ

满足x-3.r+x?-x,-39,*=唾：=女，则5-.

参考答案：

【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法.D2D3

“人—4.一ta,=log,.*=>—=logtx.

3解析：设%=71=%.2=k,则4,

1,1.

­=1O81^P—=1。翻心2,I

同理,因为数列什丁的各项取倒数后按原来顺序构成等差

数列，所以210gt41=log/A+lo&t、2=4="•»，，所以数列kJ是等比数列，

把玉=3代入七+巧+为=39得公比q=3（负值舍去），所以4=3、广|=3".

【思路点拨】设碎='弟=篇3=k,利用指数与对数互化及对数换底公式得

1,

­=］。8"・

1”

%.】一°凯'"-08***\再由｛"J的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以

及对数运算性质得仪1=*小2,所以数列k”）是等比数列，又因为卜」各项都是正数

且

x-3占+公-匕-39,得公比q，从而求得。.

17.已知（1+ax）0+x）5的展开式中X2的系数为5,则a=

参考答案：

-1

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题共13分）

己知函数/（力=如3--+玩（dbeR）,/'（X）为其导函数，且X=3时/。。有极小值

-9.

（I）求/（X）的单调递减区间；

（II）若不等式炊xlnx-1）-6x-4（左为正整数）对任意正实数X恒成立，求

上的最大值.（解答过程可参考使用以下数据：皿7.1处，Ing何208）

参考答案：

（I）“（机―・2x+6,因为函数在x-3时有极小值-9,

p7o-6+i-0

所以127a_9+3&--9,从而得

1v,

3,•…2分

所求的弓所以八机』・2广3,

由广（x）<0解得一1<x<3,

所以/口）的单调递减区间为

（T3）

4分

（II）因为（3）=1_如_3,所以/（X）〉左（xlnx_l）_6%_4等价于

E+1...八

/+4x+l〉M；dnx-D,即X+丁+4/门>。

6分

g(x)=x+2+4—上Inx

记才

（/、，汇+1上（x+l）（为一七一1）

S（X）=1—~—_=2

则XXX,

由g'（x）=0,得mt+1,

所以在（0，々+D上单调递减，在6+L+8）上单调递增,

所以

g(x)2g(上+1)=左+6—左ln&+l),

...8分

g(x)>。对任意正实数X恒成立，

等价于上+6-2In/+D>0,即“工-皿"+"°.

分

〃(x)=1+--ln(x+l)

记彳，

则、(制一^^+T<0,所以打(工)在(°，+°°)上单调递减,

A(6)=2-ln7>0,A(7)=—-ln8<0

又7,

所以上的最大值为

6.

.........13分

【注：若有其它解法，请酌情给分.】

19.(13分)如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为

尸Asin(3x+2")

曲线段FBC,该曲线段是函数3(A>0,3>0),xe[-4,0]时的

图象，且图象的最高点为B(-1,2).赛道的中间部分为长逐千米的直线跑道CD,且

CD//EF.赛道的后一部分是以0为圆心的一段圆弧施.

(1)求3的值和ND0E的大小;

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形0DE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路

EF上，一个顶点在半径0D上，另外一个顶点P在圆弧嬴上，且NP0E=。，求当"矩形草

坪”的面积取最大值时e的值.

参考答案：

【考点】：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值.

【专题】：计算题.

工2K

【分析】：（1）依题意，得A=2,根据周期公式T=k可得3,把B的坐标代入

结合已知可得4）,从而可求NDOE的大小；

（2）由（1）可知OD=OP,矩形草坪的面积S关于6的函数，有结合正弦

函数的性质可求S取得最大值.

解：（1）由条件，得A=2,4.（2分）

7T

6.(4分)

曲线段FBC的解析式为尸,‘in（飞

兀JT

当x=o时，y=oc=V3.XCD=V3,.-ZCOD=-4'即/DOE*.(7分)

（2）由（1）,可知0口小后.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故0P=加.（8分）

设NPOE=o,4,“矩形草坪”的面积为

S=V^sin9(%cos8-^/gsin9)=6(sin8cos9-sin29)

=63或8+手。$26-,）=37^（28+?）-3,（］3分）

0<e<—当29+工上时，9=工时，£

4,故428取得最大值.（15分）

【点评】：本题主要考查了在实际问题中，由丫=人5m（3X+6）的部分图象确定函数的

解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T,利用

周期公式求3,再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求小，从而求出函数的

解析式；还考查了实际问题中的最值的求解.关键是要把实际问题转化为数学问题来求

解.

20.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

n

已知倾斜角为W的直线e经过点pa,1）.

（I）写出直线1的参数方程；

/+/=砒交于48两点,求」-+」-

（H）设直线1与I户川1尸网的值。

参考答案：

X=1-Ficos—

4

•…・7r

y=sin—

（I）直线？的参数方程为I'4,即

.g

X1+

=42

g

y:41+

24分

I0，

•X=]+----122A

（H）将I2代入x=4,化简整理得:

应

J+2f-2=06分

所以,

|A4|x|P5|=同咽|=卜x/2|=p2|=2

.....7分

因为直线,经过圆心，所以，

p小四=|第=4………&

分

所以，

11附+阀4

四|P5|=|A4|xp5|2

.....io分

21.已知函数f(x)=e*(ax+b)+x~+2x,曲线y=f(x)经过点P(0,1),且在点P处的

切线为1：y=4x+l.

(I)求a,b的值；

(II)若存在实数k,使得xG[-2,-l]0'if(x)》x'+2(k+1)x+k恒成立，求k的取

值范围.

参考答案：

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】导数的综合应用.

B(0)=4

【分析】(I)求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到If(°)=1,即可

求a,b的值；

(II)xG[-2,-1],f(x)2x?+2(k+1)x+k恒成立，推出k的表达式，构造函数求

解函数的导数，利用新函数的单调性求出区间上的最值，即可求k的取值范围.

【解答】解：(I)f'(x)=ex(ax+a+b)+2x+2…

,，(°)=4(a+b+2=4(a=l

依题意，If(0)=1,HPIb=l,解得ib=l.…

(II)由f(x)与x，2(k+1)x+k得：e5(x+1)>k(2x+l).

Vxe[-2,-1]时，2x+l<0,

/.f(x)》x，2(k+1)x+k即e*(x+1)(2x+l)恒成立，

J(x+1)

当且仅当k/―2x+l

xg，(x)5(2x2+3?

(\e(x+1)crn11

g(x)=---------，xtI-2,-1](2x+l)2

设2x+l

,_x=0(舍去)，

由g(x)=0得2…

*x€(-2,--1)时，g'(x)>0

7时，g’(x)<0.g(x)=e'(；l)在区间L2,-1]