柔性铰柔度性能的统一数学模型及有限元分析

柔性铰柔度性能的统一数学模型及有限元分析

柔性销件结构是一种小体积、无机械摩擦、无间隙、运动灵活度高的传动结构。广泛应用于各种需要小位移和高精度定位的场所。近几年,采用压电元件驱动,柔性铰链机构传动实现精密定位有着众多的应用,如光束跟瞄稳定控制、微动工作台、同步辐射光束控制等。纳米定位技术是实现纳米加工和纳米测量的基础,柔性铰链在该领域也有着极其重要的应用。柔度是评价柔性铰链最重要的参数之一,Paro和Weisbord利用积分的方法,得出了圆形柔性铰链在不同方向上转动和平移刚度的精确解,并在铰链最小厚度远远小于铰链半径的情况下,得到了铰链柔度的近似解。吴鹰飞等进一步简化了Paros和Weisboro给出的直圆柔性铰链计算公式,近年来一些研究者用有限元的方法对柔性铰链进行了分析;StuartT等推导了椭圆柔性铰链的柔度公式,并利用有限元方法和实验进行验证;NicolaeLobonitu等推导出导角、抛物线和双曲线形柔性铰链的刚度公式和转动精度公式,并利用有限元方法和实验进行了验证[5―6];陈贵敏等推导了半个直圆半个导角组成的混合型柔性铰链的刚度公式;XuW使用有限元方法对直圆、导角和椭圆这三种型式的柔性铰链的精度做了分析比较;Ruy综述了影响柔性铰链机构执行精度的各种误差源;Ling利用傅里叶积分的方法得到了圆形柔性铰链在轴向力和弯矩下应力的解析解。本文推导了一般单边柔性铰链的柔度计算解析式,并用解析式计算了单边直圆、单边抛物线、单边正割曲线柔性铰链的转动柔度,并比较分析了它们的柔度性能,有限元验证了柔度公式的正确性。1柔性新型真壳受力分析公式的推导是基于下面的假设:柔性铰链的分析是基于小变形悬臂梁假设,柔性铰链被假定一端固定,另一端为自由端。弯曲变形是由力和弯矩产生的,考虑了轴向载荷的影响,而剪切和扭转的影响没有考虑,结构参数如图1所示,柔性铰链的宽度为b,最小厚度为t,长度为l,切割深度c。受力分析如图2所示。根据柔性铰链的受力分析,图2中1点的位移-载荷关系是:对上式左边的位移矢量应用卡氏第二定理,由材料力学可知,柔性铰链的变形能为:式中:E为弹性模量;I为转动惯量。这里的弯矩和轴向力分别为:由公式(1)―公式(5),可以计算出柔性铰链的柔度为:对于不同切割形状曲线的柔性铰链,只要知道可变厚度函数t(x),即可求得柔性铰链的柔度。2典型单柔性链的平滑度计算下面分别推导了单边直圆,单边抛物线形,单边正割曲线形柔性铰链的柔度计算公式,定义参数:2.1直圆柔性新型火炬的柔度单边直圆柔性铰链的可变厚度函数t(x),可表示为:对于一个直圆柔性铰链,c=r==1/2,由上面推导的柔性铰链的柔度计算模型,可求得单边直圆柔性铰链的柔度为:2.2单带间距柔性链单边抛物线形柔性铰链的可变厚度函数t(x),可表示为:代入上面推导的公式,可得到单边抛物线形柔性铰链的柔度为:2.3单带正割曲线弹性链单边正割曲线形柔性铰链的可变厚度函数t(x),可表示为:代入上面推导的公式,可得到单边正割曲线形柔性铰链的柔度为:3柔性新型真型用有限元的方法对柔性铰链的柔度公式进行验证,利用有限元分析软件包ANSYS建立柔性铰链模型。在柔性铰链的末端加一单元载荷,在图2中的1点得到位移,分别与推导的柔度公式计算的结果进行比较。图3为有限元模型。有限元的实验参数为:有限元分析的结果和柔度公式计算结果如表1所示,由表中数据可知,有限元结果和推导的柔度公式计算结果的偏差在9%以内。4柔性新型真合参数法通过分析柔性铰链的柔度公式可知:所有的柔度参数都与弹性模量E和柔性铰链的宽度b成反比。为了进一步分析柔性铰链的结构参数β和γ对其柔度性能的影响,把直圆柔性铰链作为比较基准,定义下面的柔度比函数:柔度比函数消除了变量E、b和t,这样,函数只与变量β和γ有关。图4―图7是柔度比函数f11,k(β,γ)随参数β和γ变化曲线,f12,k(β,γ)、f22,k(β,γ)、f33,k(β,γ)有着相同的变化趋势,通过分析图4―图7柔性铰链的柔度比函数与结构参数的变化关系,可以得到以下的结论:当参数β增大而γ减小时,柔性铰链的柔度比函数增大,如图4所示,由图4中柔度比函数大于1可以看出,单边抛物线、单边正割曲线形柔性铰链比单边直圆柔性铰链有着更大的柔度,尤其是当参数β比较大的时候。柔度比函数非线性地与参数γ成反比,当铰链的长度l与最小厚度t的比值很大时,单边抛物线形柔性铰链具有更大的柔度,如图5、图6所示。当参数β比较大且γ相对小时,单边抛物线柔性铰链比单边正割曲线形柔性铰链有更大的柔度,如图7所示。5柔性新型真度解析对柔性铰链柔度性能进行了分析,利用卡氏第二定理推导出了一般柔性铰链柔度解析式,并用推导的解析式计算了单边直圆形、单边抛物线形和单边正割曲线形柔性铰链的柔度,用有限元的方法对柔性铰链的闭环柔度解析式进行了校验,结果表明解析式所得的结果与有限元分析结果基本一致,两者的偏差小于9%,从而验证了柔性铰链柔度解析式的正确性。分析了单边直圆、单边抛物线形和单边正割曲线形