第4章多元函数微分学及其应用

高数线数考试情况

礼拜四下午2点以自然班为单位购买作业册、辅导书，13元/本,

25元/2本高数线数考试情况

礼拜四下午2点以自然班为单位购买作业册、辅导书，13元/本、25元/2本推广第四章

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法

及其应用

第一讲一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限多元函数的基本概念

第四章

一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)注

若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点P的任一邻域U(P)既有属于E的点也有不则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点

.属于E的点,注：E的内点必属于E

注：E的外点必不属于E

注：E的边界点可能属于E,也可能不属于E.内点P外点P边界点P(2)聚点若对任意给定的,点P

的邻域内总有异于P的点属于E,则称P是E的聚点.注：聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)D(3)开区域及闭区域

若点集E的点都是内点，则称E为开集；

若点集E

E或E的补集为开集,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全包含于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;。。

E的边界点的全体称为E的边界,记作

E;例如，在平面上开区域闭区域

点集是开集，但非区域.o3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标

.记作即一个点,

对集合E,若存在正数M,使一切点P

E与某定点P0

的距离PP0

M,则称E为有界集,

无界集.否则称E为的距离记作中点a

的

邻域为规定为过规定为点

的直线内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、有界集区域、闭区域的概念均可推广到n维空间二、多元函数的概念

圆柱体的体积

定量理想气体的压强定义1.

设非空点集D

称为函数的定义域

;x,y称为自变量，z为因变量，数集称为函数的值域

.如果对于每一个点，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称记为称为函数的图形

.变量z是变量x,y的二元函数(或称点P的函数）例如,

二元函数定义域为圆域注:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.类似地可定义三元及三元以上函数．

n元函数记作当n=3时,有三元函数多值函数：有两个或两个以上的z值与P(x,y)对应的的函数三、多元函数的极限定义2.

设n元函数点,则称A为函数当n=2时,二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对记作都有对任意正数

,总存在正数,注：刻画了P点与P0点的接近程度刻画了f(P)与A点的接近程度例1.

设求证：证:故总有注：若当点趋于不同值或沿某条路经趋于P0(x0,y0)极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例2.讨论函数函数例3.讨论函数在点(0,0)的极限.所以内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数3.多元函数的极限作业:练习册P1－4预习:连续与偏导数第二讲二、

偏导数概念及其计算三、高阶偏导数连续与偏导数第四章一、多元函数的连续一、多元函数的连续性

定义.

设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,令因为所以连续还可定义如下定义.

设n元函数定义在D上,如果则称n元函数连续,例如,

函数在点(0,0)极限不存在,故(0,0)为其间断点.结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.基本初等函数:各变量的幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数初等函数:由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的函数定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数有定义，若极限设函数即:二、偏导数定义及其计算法同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,即y为常数例如,

三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为偏导数的计算方法：对某个变量求偏导数时，其他变量均为常数，对该变量求导数。求偏导数的方法就是求导数的方法。当把多元函数当某个变量的一元函数处理时，一元函数的所有结论都成立。二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.例2.

设证:例3.求的偏导数.解:求证偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:注:(R为常数),不是分子与分母的商!此例表明,整体记号,三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例5.

求函数解:注:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等例6.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程则定理例如,

对三元函数u=f(x,y,z),注:本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶偏导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)和都在连续，证:令则则定理.令同样在点连续,得内容小结1.多元函数的连续性1)函数2)有界闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续2.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关3.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)作业：作业册P5－8*二、全微分在数值计算中的应用应用

第三讲一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分

第四章一、全微分的定义

定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.可微与可偏导数有什么关系？定理(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:则函数在该点连续二、全微分的必要条件证明：定理(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有自变量的增量△x,△y称为自变量的微分,记作反例:

函数易知但函数在点(0,0)不连续,因此在点(0,0)不可微.注:定理的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理(充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.三、全微分的充分条件证明：略定理(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.令则令则三、全微分的充分条件因此函数在点可微.又因为故有因为所以故有重要关系:函数可偏导函数可微偏导数连续函数连续极限存在反例均考察(0,0)点推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数记作故有下述叠加原理称为偏微分，它们为只有一个变量在变的全微分为化时的微分.例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:可知当*四、全微分在数值计算中的应用:近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(用于近似计算函数增量的近似值)(用于近似计算(x,y)附近点函数值)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了

例3.

有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

求此圆柱体例4.计算的近似值.

解:

设,则取则内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续3.微分应用•近似计算作业:作业册P9－10预习:多元复合函数的求导法第四讲一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则第四章一、多元复合函数求导的链式法则定理

若函数处可微分,在点(x,y)偏导数存在,则复合函数证:

设x取增量△x,则相应中间变量且有链式法则有增量1、多——多复合求导的链式法则在(x,y)点偏导数存在2.多——一复合求导的链式法则3.一——多复合求导的链式法则定理：在t点可导，在相应的(u,v)点可微，则定理：在(x,y)点偏导数存在在相应的u点可微，则4.多重复合求导的链式法则定理可微，则口诀：复函求导别着急，先把函数剥剥皮层层剥皮剥到底，同路求导做乘积异路各积加一起。又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示复合函数表示外层函数与不同,导数简单记号：固定y对x求导,固定v对x求导例1.设解:例2.解:例3.

设

求全导数解:例4.

设

f具有二阶连续偏导数,求解:二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,

都可微，则复合函数可微,u,v为自变量,则其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.当u,v为中间变量,例5.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以例1.设内容小结1.复合函数求导的链式法则2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,作业:作业册P11－15口诀：复函求导别着急，先把函数剥剥皮层层剥皮剥到底，同路求导做乘积异路各积加一起。预习:隐函数的求导法第四章第五讲一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对x求导在的某邻域内则公式的导出过程也是直接从方程入手求隐函数导数的方法:方程两边对自变量求导数,遇到含因变量的项用链式求导法则,解出隐函导数，此法称为求导法求隐函数的导数也可用微分法.例1.

验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可并求法一:公式法两边对x求导法二—方程两边直接求导法两边微分法三—微分法定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数

,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对x求偏导同样可得所以微分法求导法例2.

设解法1

方程两边直接求导法解法2

利用公式设则例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1

利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法2

微分法.二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G对变量y和z的雅可比(Jacobi)行列式.1.两个关于三个变量的方程确定两个一元函数定理3.设的某一则方程组③的单值连续函数且有导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定两个满足:邻域内具有连续偏导数；满足条件有隐函数组则两边对x求导得设方程组故得系数行列式定理证明略.仅推导偏导数公式如下(求导法）：方程两边微分故得系数行列式定理证明略.仅推导偏导数公式如下(微分法）：由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.2.两个方程确定两个二元函数定理4.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.仅推导偏导数公式如下：有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内故得系数行列式同样可得例4.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有例5.

设解:确定的x，y的函数，其中是由方程两边微分故有均可微，求内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式作业:作业册P16－19隐函求导有诀窍，先把因变自变找，变量关系若明了，方程两边对自变导，解出要求函数导；变量关系不明了，两边微分不求导，因变微分一求到，导数立刻就得到。口诀：雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.第六讲一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用第四章平面的点法式方程法向量为平面过点直线的对称式方程方向向量为直线过点复习:1.

平面点法式方程2.

直线对称式方程一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为一般参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量

.不全为0,因此得法平面方程

例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即解:

由于该点的切向量为在,故对应的点为2.曲线方程为特殊参数方程的情况切线方程切线的方向向量:一般形式为:3.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为则在点切线方程有或也可表为法平面方程例2.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解：令则即切向量法平面方程即二、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线问题:

上过点M的任何曲线在该点的切线都是否在同一平面上？在上,得令由于曲线

的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,此平面称为

在该点的切平面.曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程由切平面方程可得点的全微分的几何意义右边正是自变量从变为在的全微分，左边为切平面上相应于这两点竖坐标的增量，所以自变量从变为方程中(x,y,z)是切平面上任一点令则时时，曲面上点的切平面对应于这两点竖坐标的改变量的全微分的几何意义为：在例3.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程

即法线方程法向量令例4.

确定正数

使曲面在点解:

二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有三、平面曲线的切线与法线过点M与切线垂直的直线称为曲线在该点的法位置.平面光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限线.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为一般参数方程的情况切线方程切线的方向向量:称为曲线的切向量

.2.曲线方程为特殊参数方程的情况切线方程切线的方向向量:一般形式为:1.空间曲线的切线与法平面

1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结2)特殊参数式情况.空间光滑曲线切向量空间光滑曲线切向量3)一般式情况.空间光滑曲面曲面

在点1)隐式情况.的法向量2.曲面的切平面与法线空间光滑曲面2)显式情况.法向量作业

作业册P20－22第七讲一、方向导数

二、梯度方向导数与梯度第四章一、方向导数定义:设函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)则称为函数在点P0

处沿方向

l

的方向导数.记作的某一邻域U(P0)内有定义

l是xoy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

是l上任一点

若极限存在即

当l为x轴正向时为x轴负方向时定理则函数在该点沿任意方向l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故若函数在点可微其中是l的方向角三元函数方向导数及计算定义:若函数在点处沿方向l的方向导数定义为:定理则函数在该点沿任意方向l

的方向导数存在,且有注求l

方向的方向余弦方法：将与l同方向的向量单位化例1.求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最小值：当相反时，1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度注函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式例4.证:试证处矢径r的模,三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.例5.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.内容小结1.方向导数在点沿方向l(方向角方向导数在点方向导数沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.作业：作业册P23－25第八讲一、多元函数的极值二、最值应用问题多元函数的极值最值及其求法第四章一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内对1.极值定义(极小值).异于(x0,y0)的(x,y)有极大值定义：使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值点的必要条件有取得极值,取得极值同理注:驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故注：偏导数不存在的点也可能是极值点,如2.极值点的必要条件时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.若函数3.极值点的充分条件（1）的定义域求出所有驻点、不可导点对二阶导数存在的每个驻点计算A、B、C确定4.求极值的方法步骤（2）（3）用充分条件判断,其它驻点和不可导点用定义例求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.解方程组的极值.求二阶偏导数驻点ABCAC-B2(1,0)12>00672>0极小值f(1,0)=-5(1,2)12>00-6-72<0在(1,2)不取极值(-3,0)-1206-72<0在(-3,0)不取极值(-3,2)-12<00-672>0极大值f(-3,2)=31例

函数及是否取极值?解:在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)显然(0,0)都是它们的驻点,并且在(0,0)都有可能为二、多元函数的最值定义:若函数则称函数在该点取得最大(小)值.例如:在点(0,0)有最小值;在点(0,0)有最大值;在定义域无最值.最大值和最小值统称为最值,使函数取得最值的点称为最值点.内有1.最值定义2.有界闭区域上的连续函数的最值{最值点}最值的求法：(1)求出区域内部所有驻点、偏导数不存在的点，边界上可能的最值点及各点函数值最值在区域内部取到,且只有一个驻点P时,则为最值依据：有界闭区域上的连续函数必取到最大值和最小值{驻点,边界上的可能的最值点,偏导数不存在的点}(2)比较：最大者为最大值,最小者为最小值3.实际问题的最值例解:

设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例4.

有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:

设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:1.z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件极值对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制定义:函数则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件极大（小）值，条件极大值和条件极小值统称为条件极值,使函数取得条件极值的点称为条件极值点.在(x0,y0)的某邻域U(x0,y0)内有定义,若对异于(x0,y0)的(x,y)

U(x0,y0)且

(x,y)=0时有(1)定义(2)条件极值的求法:方法1代入法.一元函数转化为求一元函数注：代入法把二元函数的条件极值问题转化为一元函数的无条件极值问题代入z=f(x,y)得的无条件极值问题方法2拉格朗日乘数法（只能求可能的条件极值点）.一元函数可确定隐函数的极值问题,条件极值点必满足设记故故有条件极值点必满足则问题等价于这正是无条件极值点满足的条件函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数，利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.注：拉格朗日乘数法把二元函数的条件极值问题转化为三元函数的无条件极值问题注：拉格朗日乘数法求条件极值，充分条件判别法不可用②求拉格朗日函数的偏导数，令其为0，解方程组拉格朗日乘数法求函数可能条件极值点步骤①构造拉格朗日函数.设解方程组可得到条件极值的可疑点.2.求函数下的极值.在一个条件设解方程组可得到条件极值的可疑点.函数下的极值.在两个条件3.四、条件最值最值问题无条件最值:条件最值:1.z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件最值对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制定义:函数则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件最大（小）值，条件最大值和条件最小值统称为条件最值,使函数取得条件极值的点称为条件最值点.在包含(x0,y0)的集合D内有定义,若当(x,y)D且

(x,y)=0时有2.实际问题条件最值最值必在定义域内取到，拉格朗日函数在定义域内部有唯一的驻点，则驻点为最值点例要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.第二步判别•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域2.函数的最值问题

作业：作业册P26－27第九讲一、多元函数的条件极值二、多元函数的条件最值三、多元函数微分学内容总结多元函数的条件极值、条件最值一、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:1.z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件极值对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制定义:函数则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件极大（小）值，条件极大值和条件极小值统称为条件极值,使函数取得条件极值的点称为条件极值点.在(x0,y0)的某邻域U(x0,y0)内有定义,若对异于(x0,y0)的(x,y)

U(x0,y0)且

(x,y)=0时有(1)定义(2)条件极值的求法:方法1代入法.一元函数转化为求一元函数注：代入法把二元函数的条件极值问题转化为一元函数的无条件极值问题代入z=f(x,y)得的无条件极值问题方法2拉格朗日乘数法（只能求可能的条件极值点）.一元函数可确定隐函数的极值问题,条件极值点必满足设记故故有条件极值点必满足则问题等价于这正是无条件极值点满足的条件函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数，利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.注：拉格朗日乘数法把二元函数的条件极值问题转化为三元函数的无条件极值问题注：拉格朗日乘数法求条件极值，充分条件判别法不可用②求拉格朗日函数的偏导数，令其为0，解方程组拉格朗日乘数法求函数可能条件极值点步骤①构造拉格朗日函数.设解方程组可得到条件极值的可疑点.2.求函数下的极值.在一个条件设解方程组可得到条件极值的可疑点.函数下的极值.在两个条件3.二、条件最值最值问题无条件最值:条件最值:1.z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件最值对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制定义:函数则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的条件最大（小）值，条件最大值和条件最小值统称为条件最值,使函数取得条件极值的点称为条件最值点.在包含(x0,y0)的集合D内有定义,若当(x,y)D且

(x,y)=0时有2.实际问题条件最值最值必在定义域内取到，拉格朗日函数在定义域内部有唯一的驻点，则驻点为最值点例.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为内容小结1.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法(2)一般问题用拉格朗日乘数法第二步判别•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)2.函数的条件最值问题作业：作业册P26－27已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明二元函数的泰勒公式第四章一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,

表示表示定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界

M,则有(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时