4.1.1数列的概念与简单表示【高效备课精讲精研】高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.1数列的概念与简单表示人教A版（2019）选择性必修第二册新知导入

东晋诗人陶渊明劝学的故事，广为人知。他曾有名言如下：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。”

如果每天用精密仪器对“春起之苗”进行测量，则每天的苗的高度，都按日期排列，可以组成一个数列。问题：什么是数列？新知导入1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.①

（2）

中的

i

反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即

是排在第1位的数，……

是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.

新知导入2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.②注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示

中的

i

反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……它们之间不能交换位置所以，②也是具有确定顺序的一列数新知导入3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：

③③

也是具有确定顺序的一列数思考:你能仿照上面的叙述，说说③

吗？归纳：上述3例子的共同特征是什么？新知讲解数列的概念（1）按照确定的顺序排列的一列数称为数列（2）数列中的每一个数叫做这个数列的项（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号表示，

第2项，用表示……

第n项，用

表示.

（4）数列的一般形式是

，，…，,…,简记为{}.合作探究思考：数列与集合，，…，有什么区别？提示：数列集合各项必须是数

集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式数列中的数是有顺序的。如1，2，3与2，3，1表示不同的数列

集合中的元素具有无序性，

如{1，2，3}={2，3，1}同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，…

集合中的元素具有互异性，如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}新知讲解数列与函数由于数列{}中的每一项

和它的序号n有下面的对应关系：

那么

构成了一个数列{f(n)}新知讲解与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示数列的表示数列①可以表示为表

4.1-1n1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的图象如图4.1-1所示问题：通过前面的学习，你能用几种方法表示数列？答案：①

一般表示法②

通项公式法(或称为解析表示法)③

列表法④

图象法

（是一群孤立的点）⑤递推公式法（下一节学习）

，，…，,…例如：2，4，6，8，…简记为{2n}例如：数列3，6，9，12，…

用通项公式法表示为：例如：数列-1，1，-1，1，-1，1，…合作探究合作探究数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列合作探究数列的通项公式

注：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

(3)数列的通项公式不唯一例如：-1，1，-1，1，…可以写成

合作探究解：（1）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{}的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图4.1-2（1）所示.（2）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{}的前5项依次为1，0，-1，0，1图象如图4.1-2（2）所示.例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，，，，…；

（2）2，0，2，0，….合作探究解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为（2）这个数列的前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为注：或常常用来表示正负相间的变化规律.课堂练习1概念辨析（1）数列

与

相同吗？

（2）数列与函数

提示：（1）数列与是不相同的.表示数列：

就是数列的通项公式，否则，

与

完全不同

的图象是线，的图象是

上的点

课堂练习2以数列2，4，6，8，10，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案：①

通项公式法：②列表法

n123…k…246…2k…③图象法课堂练习3根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式

①

②－3，7，-15，31，…

③2，6，2，6，…④

⑤

解：①

均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴

各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴

．课堂练习

解：③

为摆动数列，

或④

由题意得数列的通项公式为

⑤

数列即据此可得数列的通项公式为

.课堂练习4已知数列的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．(1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)由题设条件，知

∴

.(2)假设253是这个数列中的项，则，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，

解得

这与

n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．课堂练习5已知是R上的奇函数，

则数列的通项公式为（

）A．B.C.D.C课堂练习解：

故

代入得：

∴

函数

关于点

对称，令

则

得到

∵

倒序相加可得

即

答案：C课堂总结1数列的概念

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2数列的表示①通项