函数导数与极值课件

南安国光中学戴延清

3.3.2函数的极值与导数第一课时高二数学选修1-1南安国光中学戴延清3.3.2函数的极值与导数第一课时11、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内单调递增f(x)在(a,b)内单调递减一、复习导入------复习旧课1、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有22.用导数求函数单调区间的基本步骤:注、单调区间不以“并集”出现。2.用导数求函数单调区间的基本步骤:注、单调区间不以“并3已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?一、复习导入------复习旧课已知函数f(x)=2x3-6x2+7(2)函数f(x)4利用函数的导数讨论函数的单调性．解：令，解得或，当时，是增函数；因此，当时，是增函数；再令，解得，当时，是减函数；因此，利用函数的导数讨论函数5分析函数在附近的函数值分别与的关系.分析函数6高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像atho最高点一、复习导入------导入新课h(t)=-4.9t2+6.5t+10高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像atho最高点一、复习7一、复习导入----------导入新课单调递增单调递减h'(a)＝0跳水运动员在最高处附近的情况：当t=a时，运动员距水面高度最大，t=at<at>aatho最高点h(t)=-4.9t2+6.5t+10h'

(t)>0h

'

(t)<0h'

(a)＝？图像有什么特点？导数的符号有什么变化规律？图像先增后减导函数连续变化，先正后负一、复习导入----------导入新课单调递增单调递减h8一、复习导入------导入新课探究：如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？xyoaby=f(x)xyoab>0<0<0>0f

'(a)=0f

'(b)=0一、复习导入------导入新课探究：如图，y=f(x)在9探究：如图所示函数y=f(x)在d、e、f、g、h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？探究：如图所示函数y=f(x)在d、e、f、g、h点的函数10xyoaby=f(x)>0<0极小值点af'

(a)=0函数极值的定义

二、讲授新课-----了解概念函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f

(a)=0,在x=a附近的左侧

f

(a)<0,右侧f

(a)>0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；xyoaby=f(x)>0<0极小值点af'(a)=0函11xyoaby=f(x)<0>0极大值点bf'

(b)=0函数极值的定义

二、讲授新课-----了解概念函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f

(b)=0,在x=b附近的左侧

f

(b)>0,右侧f

(b)<0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。xyoaby=f(x)<0>0极大值点bf'(b)=0函12函数极值的定义函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f

(a)=0,在x=a附近的左侧

f

(a)<0,右侧f

(a)>0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f

(b)=0,在x=b附近的左侧

f

(b)>0,右侧f

(b)<0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值注：极值点指的是自变量x的值，极值指的是函数值。xyoab二、讲授新课-----了解概念函数极值的定义函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附13f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值f(x2)极小值f(x1)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2

xX<x2

x2X>x2

f

(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0极大值减f

(x)<0f

(x)=0增减极小值f

(x)>0结论：

极值点x0处，f

(xo)=0,两侧单调性不同,导函数异号。极值点的判断f(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值f(x214yabx1x2x3x4Ox探究

1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？yabx1x2x3x4Ox探究1、图中有哪些极值点？极15(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;16一般地,判断函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”小结一般地,判断函数的极值的方法是:即“峰顶”即“谷底”小结17探究与思考：导数为0的点一定是函数的极值点吗？探究与思考：导数为0的点一定是函数的极值点吗？18x

yOf(x)

x3注意：f

(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件例如：f(x)=x3f'(x)=3x2≥0，f'(0)=3×02=0xx<0X=0X>0f'(x)+0+f(x)导数为0的点一定是函数的极值点吗？不一定函数取得极值的充要条件是f

(xo)=0,两侧导函数异号。xyOf(x)x3注意：f(x0)=0是函数取得极19极大值点极小值点..学..科..网.极大值点极小值点..学..科..网.20例1：求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:定义域为R，例1：求函数21例题1图像-2oxy2+--+28/3-4/3f(x)=1/3x3-4x+4例题1图像-2oxy2+--+28/3-4/3f(x)=1/22x(∞,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+∞)+0--0+所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2注意定义域-22例2：求函数的极值。x(∞,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+∞)+0-23xyO1-1xyO1-124求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域，求f'(x);（2）求方程f'(x)=0的根;（3）解不等式f'(x)>0、f'(x)<0得出单调区间;（4）列出x,f'

(x),f(x)变化情况的表格，找出极大值点和极小值点；(5)把极值点代入原函数，求出极值。若f'(x0)左正右负，则f(x0)为极大值；若f‘(x0)左负右正，则f(xo)为极小值。求导—求方程f'(x)=0的根—列表—求极值求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求导—求方程f'(25练习1：求下列函数的极值:练习2练习1：求下列函数的极值:练习226练习1：求下列函数的极值:解:

令解得列表:所以,当时,f(x)有极小值f(x)0x+单调递增单调递减–练习1：求下列函数的极值:解:令27求下列函数的极值:解:

解得列表:所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习1:f(x)00(3,+∞)3(–3,3)–3(–∞,

–3)x–++单调递增单调递减单调递增求下列函数的极值:解:解得28练习1：求下列函数的极值:解:解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22

.22–10f(x)-0+0-(2,+∞)2(–2,2)–2(–∞,–2)x练习1：求下列函数的极值:解:解得29练习1:求下列函数的极值:解:解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2

.2–2f(x)-0+0-(1,+∞)1(–1,1)–1(–∞,–1)x练习1:求下列函数的极值:解:解得30所以，当x=1时，函数的极小值是1/2.练习2解：函数定义域为（0，+∞）1/2f(x)0(1,+∞)1(0,1)x+–单调递增单调递减所以，当x=1时，函数的极小值是1/2.练习2解：函数定义域31有极大值和极小值,求a范围?思考：解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,

已知函数解得a>6或a<-3函数取得极值的充要条件是f

(xo)=0,两侧导函数异号。有极大值和极小值,求a范围?思考：解析:f(x)有极大值和32归纳小结1、极值的定义。2、求极值的步骤。

注意：极值点处导数一定为0，导数为0处不一定有极值。思想方法总结：