数学人教A版选修2-3课堂探究2.2二项分布及其应用（第2课时）

课堂探究探究一判断事件的相互独立性判断两事件的独立性的方法：(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．【典型例题1】判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq\f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq\f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq\f(5,7).可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6).∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立．规律总结区分两个事件是否相互独立，需要深刻理解相互独立事件的特点．探究二相互独立事件同时发生的概率求相互独立事件同时发生的概率时，可运用公式P(AB)＝P(A)P(B)．在解决问题时，要搞清事件是否独立，把复杂事件分解为若干简单事件来处理，同时还要注意运用对立事件把问题简化．【典型例题2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率．思路分析：分清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算．解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”．∴P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝eq\x\to(A)B.∴P(D)＝P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.(3)法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括eq\x\to(A)B，Aeq\x\to(B)，AB，且它们彼此为互斥事件．∴P(E)＝P(eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)∪AB)＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＋P(AB×××0.6＝0.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．∴P(E)＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.规律总结相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算．探究三相互独立事件和互斥事件的概率求复杂事件的概率，往往先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．【典型例题3】已知甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有1个白球和4个红球，现从甲、乙两袋中各摸1个球，试求：(1)两球都是红球的概率；(2)恰有1个是红球的概率；(3)至少有1个是红球的概率．思路分析：判断基本事件的构成，及各事件间的关系，选择合适的公式计算．解：记事件A表示“从甲袋中摸出1个红球”，事件B表示“从乙袋中摸出1个红球”，事件C表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，恰好摸出1个红球”，事件D表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，至少摸出1个红球”．(1)由题意，A，B相互独立，且P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(4,5)，所以两球都是红球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)＝0.32.(2)由已知C＝Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B，且Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B为互斥事件，而P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,5)，则P(C)＝P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(14,25)＝0.56.(3)由已知D＝C∪AB，且C与AB为互斥事件，则P(D)＝P(C∪AB)＝P(C)＋P(AB)＝0.56＋0.32＝0.88.规律总结求较复杂事件概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．探究四易错辨析易错点混淆独立事件和互斥事件致误【典型例题4】设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq\f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．错解：∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq\f(1,4)，∴P(A)＝P(B)＝eq\f(1,4)，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).错因分析：在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件Aeq\x\to(B)发生．正解：在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件Aeq\x\to(B)发生，只有B发生即事件eq\x\to(A)B发生．∵A和B相互独立，∴A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)和B也相互独立．∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(