【解析】2023-2023高考数学真题分类汇编7 函数图像和函数零点

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2023-2023高考数学真题分类汇编7函数图像和函数零点

一、填空题

1．（2023·江苏）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】当时，，又是奇函数，

时，则

函数在上的图象为两个分别以为圆心，半径为1的圆的上半部分和以为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数的周期为4，画出函数在区间(0，9]上的图象。

再根据函数

画出函数g（x）图象为经过点（-2,0）的一条直线与一条线段拼接而成.

再利用函数的周期为2，画出函数在区间(0，9]上的图象。

在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则

函数与函数在区间上有8个交点。

又在区间上，线段与函数有4个交点，

的图象在区间上与函数有2个交点，在区间上与函数有2个交点，在区间上与函数无交点，k的取值范围是。

【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数的解析式,从而画出分段函数在区间的图象，再利用函数的周期性，画出函数在区间(0，9]上的图象，再利用分段函数的解析式画出其在区间图象，再利用函数的周期性，画出函数在区间(0，9]上的图象，再利用在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，结合方程的根与两函数的交点的横坐标等价关系，得出函数与函数在区间上有8个交点，再利用两函数在区间(0，9]上的图象求出k的取值范围。

2．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为．

【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】令，

①当时，

即，整理得，

a)若是函数零点，则，解得；

b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，

c)若，方程整理得

i)此时若是函数零点，则，解得；

ii)若，即，且成立，此时方程为重根，

同理②当时，

即，整理得，

a)若是函数零点，则，解得；

b)若，此时，与矛盾，

c)若，方程整理得

i)此时若是函数零点，则，解得；

ii)若，即，则与矛盾，

综上，

(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，

即当时，函数零点分别是，；

(2)当，，时，函数零点分别是-1，；

(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；

(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；

(5)当时，函数零点分别是1，-1；

∴当函数有且仅有两个零点时，；

故答案填：

【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.

3．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.

【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理

【解析】【解答】设，，由可得.

要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，

解得或.

①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。

①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；

③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。

4．（2023·北京）已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有两个零点；

②，使得有一个零点；

③，使得有三个零点；

④，使得有三个零点．

以上正确结论得序号是．

【答案】①②④

【知识点】函数的零点

【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0，即y=|lgx|与y=kx+2有几个交点，原函数就有几个零点，

①当k=0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；

②当k0时，y=kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.

故答案为：①②④

【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.

二、选择题

5．（2023·天津）函数的图像大致为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，排除A，C，

当x∈(0，1)时，ln|x|0，则f(x)0且a≠1）的图像可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】函数的图象

【解析】【解答】当a>1时，y=的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；

y=loga(x+）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；

当0y=loga(x+）过（，0）单调递减；

故答案为：D.

【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.

13．（2023·浙江）设a，b∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（）

A．a＜-1，b＜0B．a＜-1，b>0

C．a＞-1，b＞0D．a>-1，b>0

【答案】C

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】当x0，即a>-1时，令y'>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y'0，b>-(a+1)3.

∴-(a+1)30，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.

故选：A.

【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.

20．（2023·浙江）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】函数的图象与图象变化

【解析】【解答】显然，图中函数是奇函数，

对于A，显然，该函数为非奇非偶函数，所以与图不符合，排除A；

对于B，，该函数也是为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

对于D，将代入可计算得y/2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；

所以若时，f(x)有1个零点；

综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足

或或

则a的取值范围是

【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x23．（2023·哈尔滨模拟）若函数与图像的交点为，，…，，则（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】A

【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】解：设函数，

的定义域为R，

因为，

所以为偶函数，

因为是增函数，

故当时，，

所以当时，为增函数，

由奇偶性可知，当时，为减函数，

故函数关于对称，当时，为增函数，

当时，为减函数，

函数是关于对称的，

作出两个函数的图象，如图所示，

两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为，

由对称性可得，即，

故答案为：A。

【分析】对函数的性质进行研究，可得出关于对称，且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数关于对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于对称，故可得结果。

24．（2023·浙江）函数f(x)=的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】解：对函数验证f(-1)=-f(-1)可得出该函数为奇函数图象关于原点对称，故排除B与C，再结合题意当x>1时，函数可化为，该函数为增函数，当x0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

2．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为．

3．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.

4．（2023·北京）已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有两个零点；

②，使得有一个零点；

③，使得有三个零点；

④，使得有三个零点．

以上正确结论得序号是．

二、选择题

5．（2023·天津）函数的图像大致为（）

A．B．

C．D．

6．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）

A．B．

C．D．

8．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

9．（2023·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A．B．

C．D．

10．（2023·北京）已知函数，则不等式的解集是（）．

A．B．

C．D．

11．（2023·浙江）已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）

A．a＜0B．a＞0C．b＜0D．b＞0

12．（2023·浙江）在同一直角坐标系中，函数y=，y=loga(x+），（a>0且a≠1）的图像可能是（）

A．B．

C．D．

13．（2023·浙江）设a，b∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（）

A．a＜-1，b＜0B．a＜-1，b>0

C．a＞-1，b＞0D．a>-1，b>0

14．（2023·全国Ⅲ卷文）函数在[0，2π]的零点个数为（）

A．2B．3C．4D．5

15．（2023·全国Ⅲ卷理）函数，在[-6,6]的图像大致为（）

A．B．

C．D．

16．（2023·全国Ⅰ卷理）函数f(x)=在[-，]。的图像大致为（）

A．

B．

C．

D．

17．（2023·天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（）

A．B．

C．D．

18．（2022·天津市）函数的图像为（）

A．B．

C．D．

19．（2022·全国甲卷）函数在区间的图像大致为（）

A．B．

C．D．

20．（2023·浙江）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）

A．B．

C．D．

21．（2023·浙江）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）

A．B．

C．D．

22．（2023·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A．B．

C．D．.

23．（2023·哈尔滨模拟）若函数与图像的交点为，，…，，则（）

A．2B．4C．6D．8

24．（2023·浙江）函数f(x)=的图象大致是（）

A．B．

C．D．

三、解答题

25．（2023·新课标Ⅰ·理）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

26．（2023·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.

（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；

（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】当时，，又是奇函数，

时，则

函数在上的图象为两个分别以为圆心，半径为1的圆的上半部分和以为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数的周期为4，画出函数在区间(0，9]上的图象。

再根据函数

画出函数g（x）图象为经过点（-2,0）的一条直线与一条线段拼接而成.

再利用函数的周期为2，画出函数在区间(0，9]上的图象。

在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则

函数与函数在区间上有8个交点。

又在区间上，线段与函数有4个交点，

的图象在区间上与函数有2个交点，在区间上与函数有2个交点，在区间上与函数无交点，k的取值范围是。

【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数的解析式,从而画出分段函数在区间的图象，再利用函数的周期性，画出函数在区间(0，9]上的图象，再利用分段函数的解析式画出其在区间图象，再利用函数的周期性，画出函数在区间(0，9]上的图象，再利用在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，结合方程的根与两函数的交点的横坐标等价关系，得出函数与函数在区间上有8个交点，再利用两函数在区间(0，9]上的图象求出k的取值范围。

2．【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】令，

①当时，

即，整理得，

a)若是函数零点，则，解得；

b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，

c)若，方程整理得

i)此时若是函数零点，则，解得；

ii)若，即，且成立，此时方程为重根，

同理②当时，

即，整理得，

a)若是函数零点，则，解得；

b)若，此时，与矛盾，

c)若，方程整理得

i)此时若是函数零点，则，解得；

ii)若，即，则与矛盾，

综上，

(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，

即当时，函数零点分别是，；

(2)当，，时，函数零点分别是-1，；

(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；

(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；

(5)当时，函数零点分别是1，-1；

∴当函数有且仅有两个零点时，；

故答案填：

【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.

3．【答案】

【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理

【解析】【解答】设，，由可得.

要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，

解得或.

①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。

①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；

③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。

4．【答案】①②④

【知识点】函数的零点

【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0，即y=|lgx|与y=kx+2有几个交点，原函数就有几个零点，

①当k=0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；

②当k0时，y=kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.

故答案为：①②④

【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.

5．【答案】B

【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，排除A，C，

当x∈(0，1)时，ln|x|0，则f(x)1时，y=的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；

y=loga(x+）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；

当0y=loga(x+）过（，0）单调递减；

故答案为：D.

【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.

13．【答案】C

【知识点】函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】当x0，即a>-1时，令y'>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y'0，b>-(a+1)3.

∴-(a+1)30，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.

故选：A.

【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.

20．【答案】D

【知识点】函数的图象与图象变化

【解析】【解答】显然，图中函数是奇函数，

对于A，显然，该函数为非奇非偶函数，所以与图不符合，排除A；

对于B，，该函数也是为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

对于D，将代入可计算得y/2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；

所以若时，f(x)有1个零点；

综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足

或或

则a的取值范围是

【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x23．【答案】A

【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】解：设函数，

的定义域为R，

因为，

所以为偶函数，

因为是增函数，

故当时，，

所以当时，为增函数，

由奇偶性可知，当时，为减函数，

故函数关于对称，当时，为增函数