2022年度山东省淄博市鲁中艺术学校高三数学理月考试卷含解析

2022年度山东省淄博市鲁中艺术学校高三数学理月考

试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若任取x,ye[0,lJ,则点P(x,y)满足>>一的概率为

213

A.3B.3c.2D,4

参考答案：

A

略

2.在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好落在正方形与曲线

围成的区域内(阴影部分)的概率为

_[234

(A)2(B)3(C)4(D)5

参考答案：

B

略

x-2y>0

3.已知XJ满足条件[2x一y一6$0,则Z=》+21y的最大值()

A、2B、4C、8D、10

参考答案：

C

4.如图，已知双曲线C：a2-b2=l(a>0,b>0)的离心率为点，A、、由分别为其左右

顶点,过坐标原点且斜率为k(kWO)的直线交双曲线C于余、P”则AR、A岛、AB、

A2P?这四条直线的斜率乘积为()

A.8B.2C.6D.4

参考答案：

D

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：设点，利用斜率公式，结合离心率为相，即可得出结论.

解答：解：设Pi(x,y),P2(m,n),贝！I

22

ynyn__L___._2____

---,----•-----------2222

AE、AB、AzP”AR这四条直线的斜率乘积为x+a/ax-aiD-a=x-ain-a

b2b2

--■---

22

=aa,

・.•离心率为“，

/.a=V3,

bf

Z.a2=2,

b2b2

----■-----

22,

aa=4,

...AR、AH、AR、A2P2这四条直线的斜率乘积为4,

故选：D.

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.

5.已知函数/缶）=口-。）口.彷（其中。＞彷的图象如下面右图所示，则函数g（x）=a*+b的

图象是（)

参考答案:

A

6.下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间［-2,］内

则输入的实数x的取值范围是（）

AZT

(-w.O)U(-w.-UU

c.D.

开,)

GE)

参考答案:

D

略

7.若函数f(x)=lnx与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围为

()

1

A.(In2e,+8)B.(-1,+°°)C.(1,+°°)D.(-ln2,+°°)

参考答案：

A

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公

式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方

程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围.

【解答】解：f'(x)=7,g'(x)=2x+2,

设与g(x)=x?+2x+a相切的切点为(s,t)s<0,与曲线f(x)=lnx相切的切点为(m,

n)m>0,

1n-t

则有公共切线斜率为2$+2=%=百，

又t=s2+2s+a,n=lnm,

即有a=s2-1+ln(2s+2),

2s、+2s-l

设f(s)=s2-1-In(2s+2)(-1<SV0),所以f'(s)=s+1<0

/.f(s)>f(0)=-ln2-1,/.a>-ln2-1,

Vse(-1,0),且趋近与1时，f(s)无限增大，Aa>-ln2-1

故选A.

8.若函数XW"对于给定的非零实数”，总存在非零常数T,使得定义域M内

的任意实数x,都有必(*)=/(*♦D恒成立，此时T为，(*)的假周期，函数，=/(*)是

M上的a级假周期函数，若函数¥二〃*)是定义在区间I。，♦<»)内的3级假周期且7•二2,

1-2^(0<*<0

当好pu>l/(2-x)a<x<2)函数侬若石。同，

ge(P，+m)使世弓)-/(始40成立，则实数切的取值范围是()

(一6■马

A.2B.(—oo,12]C.(—oo,39]D.[12,+8)

参考答案：

B

0、f--2x*(0<x<I)

Kx)-!2

根据题意，对于函数f(x),当x£[0,2)时，।H2\2•,

113

分析可得：当OSxWl时，f(x)=2-2x2,有最大值f(0)=2,最小值f(l)=-2,

当l<x<2时，f(x)=f(2-x),函数f(x)的图象关于直线x=l对称，则此时有--<

I

f(x)<2,

又由函数产f(x)是定义在区间[0,4-00)内的3级类周期函数，且T=2；

8127

则在G[6,8)上，f(x)=33?f(x-6),则有-Nf(x)wT,

27

则f(8)=27f(2)=27f(0)=2,

2781

则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为5,最小值为-M；

I2(x-lXx-2)

2N)21nx--x*x*m--------

对于函数、'，有g，(x)=X

分析可得：在(0,1)上，gr(x)<0,函数g(x)为减函数，

在(1,+8)上，g(X)>0,函数g(X)为增函数，

3

则函数g(x)在(0,+8)上，由最小值g(1)=?+m,

若?xy[6,8],?x2e(0,+oo),使g(x2)-f(xi)00成立，

327

必有g(x)min<f(x)max，即3+mw3,得到m范围为i-，"2L

故答案为：B.

9.将函数f(x)=V3cos(nx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不

变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g

(x)的单调区间是()

A.[4k+l,4k+3](keZ)B.[2k+l,2k+3](kGZ)C.[2k+l,2k+2](k£Z)

D.[2k-1,2k+2](k£Z)

参考答案：

A

【考点】HJ：函数y=Asin(3x+6)的图象变换.

【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解.

【解答】解：•.•将函数f(X)=Feos(nx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

2

(纵坐标不变)，得到函数解析式为：y=V3cos(7JTX)；

再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g(x)=Fcos[万n

(x-1)]；

...可得:g(x)=V3siny-X

.I.7rx3冗

•.,由2k『wR-W2kn+W-,keZ,解得：妹+1WXW4k+3,kwZ,

可得函数g（X）的单调递减区间是：[4k+l,4k+3],kez,

7T7TX兀

由2kn-或-wR-WZk兀W,keZ,解得：4k-lWxW4k+LkeZ,

可得函数g（x）的单调递增区间是：[4k-1,4k+l],kez,

对比各个选项，只有A正确.

故选：A.

N="尸管.壮-1|

10.已知集合*="|/-3工一430},I”上则（）

A.NQMB.MRNC.M=N

GN0M

参考答案：

B

根据一元二次不等式的解法化简集合X（^X2-3X-4<0},根据指数函数的性质化简集合

j.）

'14：A"'\可彳#M[-I.JI.N（0.4],J.MQN,故选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知函数«r）=—*+x的定义域为[勿,〃],值域为[2/»,2加，则加+〃=..

参考答案：

-2

,1+x

>>=%■；---

12.函数1-X的定义域是

参考答案:

(-U)

rl占

13.阅读如图程序框图，如果输出的函数值在区间,‘5

内，则输入的实数x的取值范围是

(W

ZMAx/

||/正2

/II出九/

n^n

参考答案：

[-i-U

略

14.如图，在AABC中，ZBAC=120o,AB=AC=2,D为BC边上的点，且

AD-BC=0>CE=2EB.—

则AD•AE=.

15.在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=72,

b=2tsmB+cosB=也,

则角A的大小为.

参考答案：

A=30°

略

16.设函数>=/（”的定义域为。，如果存在非零常数T,对于任意xwD,都有

f（i+r）=rf（i）t则称函数是“似周期函数”，非零常数7为函数丁=/（1）

的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”>=/（*）的“似周期”为T,那么它是周期为2的周期函数；

②函数/（©=工是“似周期函数”；③函数/（D=Z*是“似周期函数”；

④如果函数/（工）=°°8。工是"似周期函数”，那么"°=H,£wZ”.

其中是真命题的序号是.（写出所有满足条件的命题序号）

参考答案：

1,3,4.

17.如图，正方体力版一454〃中，二面角力一物一4的度数

是；

参考答案：

60°

解：设AB=1,作ANlBDt,则尸AB?,\BN=D、M=NM=.

^AtM=AN=.

二AV引，材+,而+麻-24如.A%cos。，TFK+—2'cos。，Teos即.

T^-60°.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.郑州市为了缓解交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车.为了调查市民乘

公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按

照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：

组别—三O五六

候车时间[0,4)[4,8>C8.12)[12.16)C16.20)[20.24)

Aft243321

(1)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；

(2)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰

好来自不同组的概率.

参考答案：

【卷案】(1〉27A»(2)尸•:

【解析】

试题分析：本题壬要考查分层揄祥E机事住的融事积悻知识，有或学生的分析能力和计■能力.第一问，

利用分层曲样中，需个个体副喇的可视都是三.得到徐球为!，再利用悯少于12分钟的人数为9

人，再剩答累，第二问，考查阕机事件的微率，设出茶醛中的3人和茶五组中的2人，分别写出所有取2

人的■况，在这些慑况中选出符合恰好来自不獭的・况，■后再求出微多

试题修析：(1)从45候车集舍中的机嫡取1S人，匕人横阚的做事为1,

则45名索客中It军1由此ATX2分仲的人ft为27人.・“一••・・一・-・・・・・”4分

(2)氾然四组的3人为4从C,筑五组的2个人为。、M则从这S人中M机施取2人的不同绪累

(4A)<4G(4G<4D(AC)<AG"lMCM<C»”a»)

共10种，M人恰好来目冏姐的情况有共6"，•……一………一一一10分

则陋的2人恰好来自不同组的聚率p=2=，一…………•”……………12分

考点：1.分层揄样，2.胡机事件的喉本.

略

n

19.如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于3,半径为2,在半径0A上有一动点

C,过点C作平行于0B的直线交弧AB于点P.

(1)若C是半径0A的中点，求线段PC的长；

(2)设NC°P=6,求△尸℃面积的最大值及此时8的值。

参考答案:

解:⑴在中，N8P=冬,OP=2,OCT,由0/K=OC+PC-20c•PC8寸

得PU+PC-Sn。,解得PC=~~1彳网,............（4分）

<2）^CPZ/OB,：.ZCPO^ZPOB=j-fi,

在△/»口：中，由正弦定理得5iCcO=焉‘即.\""W

sin—

.lCP=』in（?，又一外—=-^-,OC-4sm（T-fl）-

Qs山信一夕）端吟

记/XPOC的面积为$5,则S（tf）=yCP-OCsirty,

=-1-.看sirtf•喧sin（号—0X空・看sinfl♦sin^■一―sin^ax&--ysmt?）=2sinAxxS-^sir?9

=sinM+与cos2^—号=刍^510（2^+,）一号,；.g%时,S（①取得最大值为号........（12分）

20.已知函数“Ml^T+l21c+”

（1）解不等式/（X）<5；

（2）若不等式/（X），<°的解集为空集，记实数。的最大值为a,求实数4的值.

参考答案：

4x-Z*4—

2

/(*)='

4x+2.x>-

(1)2

x<l3I

—<x<-x>-

222273

由/(1)<5得［』一2<5或一<x<-

4<5或4x-2<5解得：44

二原不等式的解集为：lI44J

⑵由‘(工)一,<°的解集0为知，"〃项山=4,

是1的最大值，故。=4

21.己知函数=5

(1)当。=0时，求函数的单调区间；

(2)若函数Mx)=W©；的值域为[0,+oo),求。的取值范围.

参考答案：

1r.川-%]。二

(1)增区间是I引12),单调减区间是I22).(2)，或

a.-12^

【分析】

(1)利用导数求出/(x)的单调区间以及/(功/(<)》°时上的范围，即可得到函数

火刈的单调区间;

(2)先利用/(*>0有解求出。的大致范围，再证明在该范围内即可。

【详解】(1)当a=0,/(0所以，(巾=(6曰》,

3

jr———

由于’8=(6x+9)y=0,可得2.

33

当时，/《)是减函数；当时，/V)>o,〃*)是增函数;

1>1

因为当G时，/W<°；当'一5时，，(工)加

(2)由题意知/(♦唠必有解，即/(月=乂2/+。统+ar=0有解,

X2X+DJS=O=＞，=0+WJ=-/

所以3x即直线3与曲线x有

交点.

则2,令或*）＞°得*©Sf和\2）.

令或*）＜0得*《-1.0）和7%）.

XG|—,+CDIXW（Q-）

所以*cS.-D和（2'）,的为增函数；*e（-LQ＞和I2）,以功为减函

数.

g（D二当—,-D时，出=1＞°恒成立；

所以xeST时，，/（亍"）时，匕"。所以xw（L3

时，I4；

0=动广一

⑺,即*e8.s）时，g（耳«1.桢），鼠工）的图像如图所示.

1-12^,

下证依.—也，先证/NK+1,设=则"3=/】，

当x<0时，*W<0,函数h(X)单调递减，当时X>O,"(力>°,函数单调递增，

所以*(*)々柒)=0,即

3

当■时，若xNO,