三重积分计算法_第1页
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文档简介

第三节三重积分的计算法一、利用直角坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.计算方法是将三重积分化为三次积分.

三重积分一、利用直角坐标计算三重积分用平行于坐标面的平面族：去分割积分区域除边界外每个小块都是一个长方形，于是得到体积元素设如图,将向xoy面投影，得,以的边界为准线母线平行于z轴的柱面把分为下上两个边界：于是则积分区域可表示为(先一后二）根据D是X型域或Y型域确定二重积分的积分限，就得到三重积分公式.若D为X型域，则有这是先对z，次对y，最后对x的三次积分例1

计算,其中为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1所围成的区域。

解

在xoy面上的投影为若

看成X型域，则例2

将化为直角坐标系下的三次积分，其中是由平面x＋y＋z＝1，x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。

的下底是x＋y＋z＝1，上底是z＝1，解

的投影

是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域，2）截面法（先二后一）1）投影法（先一后二）

计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法设区域的z值的最大值过内任一点z，作水平平面与交出截面就是二重积分的积分区域.和最小值为和，

先在

上对x,y积分然后在上对z积分.2）截面法（先二后一）这样得到先求出上的二重积分再求定积分.先二后一此法常用于上的二重积分易求的情形例3

计算，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。解

z的最小值和最大值为和，即的面积为二用柱面坐标计算三重积分在xoy面上就是极坐标.

设M（x,y,z）为空间一点，如果将x，y，z改用另外三个数来表示，则称为点M的柱面坐标。三组坐标面：柱面与直角坐标的关系是＝常数（水平平面）＝常数（半平面）＝常数（圆柱面）由图可知三组坐标面族去分割空间区域，其任一小块的体积可以近似看成以为底，为高的柱体体积。体积元素因此则积分区域在柱面坐标系下的表示为：在柱面坐标系下区域由直角变为柱面坐标表示则三重积分化为柱面坐标的三次积分：若例4

计算其中是由上半球面和旋转抛物面所围成的区域.解

将积分区域向xoy面投影，得柱面坐标例5

计算其中是由曲面与平面围成的区域.解

在xoy面上的投影区域为圆域:所以

例6计算其中问题若例6中的积分区域改为则答由对称性，有思考题在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对作单积分，然后在投影区域上用极坐标作二重积分呢？答：可以三、用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间一点，如果将x,y,z改用另外三个数r，，来表示,则称(r，，)为点M的球面坐标。球面坐标与直角坐标的关系是分割空间区域，其任一小块的体积可以近似地看成是长为、宽为、高为的长方体体积积分元素其中

一般将右端的形式化为先对r、次对、最后对的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：

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