高中数学第2章直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程课件新人教版选修1

2.4.1

圆的标准方程课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程,提升逻辑推理素养.2.会根据已知条件求圆的标准方程,提升数学运算素养.3.会判断点与圆的位置关系,提升数学抽象素养.知识概览课前·基础认知1.圆的标准方程(1)圆的定义:圆是平面上到定点的距离等于

定长

的点的集合.定点称为

圆心

,

定长

称为圆的半径.在平面直角坐标系中,☉A的圆心为点A,半径为r,M为圆上任意一点,☉A用集合表示为P={M|

|MA|=r

}.

(2)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

.当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以

原点

为圆心、半径为r的圆.

微判断

判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)圆(x+1)2+(y-2)2=3的半径等于3.(

)(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2(a,b,m∈R)一定表示圆.(

)(3)若一个圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=m2,则其半径等于m.(

)(4)方程(2x-3)2+(2y+4)2=1表示圆,且其圆心坐标为

.

(

)××√√2.点与圆的位置关系圆A:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为A(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PA|.微拓展

圆上各点到圆外一点距离的最值:若点P在圆C外,圆的半径等于r,那么圆C上各点中到点P的距离的最大值为|PC|+r,最小值为|PC|-r.微训练点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.在圆外

B.在圆内

C.在圆上

D.不确定答案:A解析:∵m2+25>24,∴点P在圆外.课堂·重难突破一

求圆的标准方程典例剖析1.(1)以点(2,-3)为圆心,且经过点(4,-1)的圆的标准方程为

.

(2)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于点(-2,3)对称的圆的方程为

.

(3)求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程.答案:(1)(x-2)2+(y+3)2=8

(2)(x+5)2+(y-4)2=1(3)解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),故圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解法二:由题意知OP是所求圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.∵弦的垂直平分线经过圆心,规律总结确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:几何法和待定系数法.

(1)几何法:先由圆的几何性质求出圆心坐标和半径,再代入标准方程即可.

(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法.学以致用1.已知△ABC的三个顶点分别为点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).因为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,故△ABC的外接圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.二

点与圆的位置关系典例剖析2.已知圆C的圆心为C(-3,-4),且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.解:因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.互动探究1.(变条件,变问法)本例圆C的标准方程不变,若点P(a,a-1)在圆C的外部,求实数a的取值范围.解:由典例剖析2知,圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为点P(a,a-1)在圆C的外部,所以(a+3)2+(a-1+4)2>25,规律总结判断点与圆位置关系的两种方法

(1)几何法.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:

d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆内.

(2)代数法.根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:

(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外;

(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内.学以致用2.已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断四点是否共圆,并说明理由.解:设M,N,P三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则M,N,P三点的坐标都满足该方程.∴过M,N,P三点的圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=25.将点Q的坐标(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25,∴点Q不在圆(x-6)2+(y-3)2=25上,∴M,N,P,Q四点不共圆.三

与圆有关的最值问题典例剖析3.已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.(2)x2+y2的最大值和最小值.规律总结数形结合解决与圆有关最值问题的注意点

(1)若实数x,y满足(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上.

(2)代数式

表示点P(x,y)与原点的距离,x2+y2表示点P(x,y)与原点距离的平方.

(3)形如(x-a)2+(y-b)2的代数式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.学以致用3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设点P是圆C上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.解:设点P(x,y),则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.∵圆心C的坐标为(3,4),∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2,即16≤x2+y2≤36.∴d的最小值为2×16+2=34,最大值为2×36+2=74.随堂训练1.若圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为(

)答案:B2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案:A解析:(方法一)设圆的圆心为C(0,b),解得b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.(方法二)如图,根据点(1,2)到圆心的距离为1,易知圆心为点(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.3.若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(

)A.(0,+∞) B.(-∞,5)C.(0,5) D.[0,5]