高中数学第6章计数原理6.3.1二项式定理训练提升新人教版选修3

6.3二项式定理6.3.1二项式定理课后·训练提升基础巩固1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是()A.(2x+2)5 B.2x5C.(2x-1)5 D.32x5答案:D解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.2.在x2-2x6的展开式中,xA.-154 B.15C.-38 D.答案:C解析:x2-2x6的通项为Tk+1=C6kx26-k·-令3-k=2,则k=1,因此x2的系数为(-1)1×2-4×C61=-38,3.3x-2xA.5 B.10 C.-20 D.40答案:D解析:由题意知Tk+1=C5k(3x)5-k-2x令53-5k6=0,得k=2,因此T3=(-2)24.已知x-1x7的展开式的第4项等于5,则xA.17 B.-1C.7 D.-7答案:B解析:T4=C73x4-1x3=5.(多选题)关于多项式1+2x-x6的展开式A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3的系数为40答案:BCD解析:对于A,在1+2x-x6中,令x=1,可得展开式中各项系数之和为26对于B,1+2x-x6的展开式中各项系数的绝对值之和与1+2x+x6的展开式中各项系数之和相等,在1+2x+对于C,展开式1+2x-x6,其含义是6个1+2x-x相乘,在6个相同因式1+2x-x中,每个因式可取1,2x,-x三者其一乘到一起,所有情况相加再进行合并对于D,同C选项的分析可得含x3的系数为[C63×(-1)3]×(C33×13)+(C61×21)×[C54×(-1)4]=6.已知x2-1xn的展开式中,常数项为15,则A.3 B.4 C.5 D.6答案:D解析:展开式的通项为Tk+1=Cnk(x2)n-k·(-1)k·1xk=(-1)kCnkx2n-3k.令2n-3k=0,得n=32k(n,k∈N*).若k=2,则n=3不符合题意;若k=4,则n=6,此时(-1)4·7.(1-i)10(i为虚数单位)的展开式中第7项为.

答案:-210解析:由通项公式得T7=C106·(-i)6=-C108.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为.

答案:330解析:x3的系数为C33+C43+C53+9.若(1+x)10=∑i=010ai(1-x)i,则a9=答案:-2010.化简:S=1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCn解将S的表达式改写为S=Cn0+(-2)Cn1+(-2)2Cn2+(-2)3Cn3+…+(-2)nCnn=[1+因此S=(-1)n=111.已知x-12xn的展开式中,第3项与第5(1)求n的值;(2)求(2x+1)x-12xn解(1)因为x-12xn的展开式中第3又第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5,所以Cn即n(n-1)2×1n(n-1)(n-2)(n-3)4(2)因为x-12xn展开式的通项为Tk+1=C当8-3k2=1时,解得k=2;当8-3k2=2时所以(2x+1)x-12xn的展开式中含x2项的系数为2能力提升1.在x+13x24的展开式中,A.3项 B.4项 C.5项 D.6项答案:C解析:Tk+1=C24kx24-k2·x-k3=C24k·x12-56k,2.在x12+12x14A.5 B.4 C.3 D.2答案:C解析:二项展开式的前三项的系数分别为1,Cn1·12,Cn2·122,由其成等差数列,可得2Cn1·12=1+Cn2·122,整理得n=1+n(n-1)83.若3x2-12x3nA.-1352 B.-135C.1352 D.答案:C解析:∵Tk+1=Cnk(3x2)n-k·-12k·(x-3)k=-12k·3n-k·Cnk·x2又n∈N*,k≥0,∴当n=5,k=2时满足题意,此时常数项为-122·33·C54.(3x+2y+z)5展开式中xy3z项的系数为()A.120 B.240 C.360 D.480答案:D解析:(3x+2y+z)5表示5个因式(3x+2y+z)的乘积,故它的展开式中,含xy3z的项是由其中一个因式取3x,其中三个因式取2y,剩下的一个因式取z得到的,故xy3z的系数为C51·3·C43·23·C115.(多选题)对于1x+x3n(n∈N*),有以下四种判断A.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项答案:AD解析:1x+x3n的展开式的通项为Tk+1=Cnkx4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)6.若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-答案:-2解析:Tk+1=C5k·(ax2)5-k1xk=C令10-52k=5,解得k=2又展开式中x5的系数为-80,则有C52·a3=-80,解得a=-7.设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=答案:3解析:由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.由1+xan的展开式的通项知Tk+1=Cnkxak(k=0,1,2,…,n).故Cn经检验,a=3符合题意.8.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解f(x)=(1+x)m+(1+x)n=1+Cm1x+Cm2x2+…+Cmmxm+1+Cn1x+Cn由题设知m+n=19,又m,n∈N*,所以1≤m≤18.x2的系数为Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n所以当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,此时x7的系数为C97+9.已知在x-23xn的展开式中,第5项的系数与第3(1)求展开式中的所有有理项;(2)求n+9Cn2+81Cn3+…+9n-解(1)由第5项的系数与第3项的系数分别是Cn4·(-2)4,Cn2·(-2)2,又两者之比是56∶3,整理得n2-5n-50=0,解得n=10,n=-因为通项为Tk+1=C10k·(-2)k·x5-5k6,当5-5k6为整数,k可取0,6,于是有理项为T1=x(2)n+9Cn2+81Cn3+…+=10+9C102+92·C103+…+910=9=(=1010.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?解(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.(1+x)3展开式的通项为C3rx(1+2x)4展开式的通项为C4r(2x)f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×C42(2x)2+C31x×C41(2x)+C3