数学思想方法专题分类与整合的思想

专题二分类与整合的思想一内容概要：所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,我们就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类的结果得到整个问题的解分类讨论思想又称“逻辑划分思想”，它是把所要研究的数学对象划分成若干不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想.在历年高考中常见的几种分类：1．由数学概念引起的分类有的数学要领就是分类给出的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等定义中，包括了分类.有的概念在定义时,明确了范围,也将引起讨论,如两直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角等.2．由性质、定理及公式引起的分类讨论有的性质、定理及公式是分类给出的，在不同的条件下有不同的结论，或在一定的限制条件下才成立的，如等比数列的前n项和公式、指数函数和对数函数的性质等.3．对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的讨论.这类题首先根据题目条件确定参数的取值范围，然后再由概念去分类或由变形所需要的条件去分类或由运算性质、定理分类，逐段讨论求解.4．由变形所需要的限制条件引起的分类如等式两边乘以（或除以）一个代数式时，要考虑这个代数式是否为零；不等式两边同乘（除）以一个代数式时，要考虑这个代数式的正、负情况；将一个指数（或对数）不等式化为整式不等式时要分底数a>1和0<a<1等等.5．由图形引起的分类讨论有的图形的类型、位置关系要讨论，如点、线、面的位置关系，圆锥曲线的类型分类等．6．由实际意义引起的分类如在排列组合问题中常需根据据实际情况的不同情形分类求解．在解题过程中分类讨论的一般步骤是：（1）明确讨论对象，确定对象的范围．（2）认清为什么要分类，确定分类标准，进行合理分类，注意做到不重不漏．（3）逐类讨论，获得阶段性结果．（4）整合讨论．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决，也就是“化整为零”、“各个击破”，这种处理问题的思想就是分类讨论．当然，也不要盲目讨论，见参数就分类，有时采用一些方法如消参法、变更主元、数形结合、整体思想等可避二.典例精析：类型一：由运算引起的分类讨论例1已知数列的前n项和为Sn=32n–n2，求数列的前n项和Pn.【分析】利用Sn与an的关系求出an,再利用绝对值的概念分类讨论求和Pn.【解析】由Sn=32n–n2,当n≥2时,an=Sn–Sn-1=32n–n2–32(n–1)+(n–1)2=33–2n；当n=1时,a1=S1=31,∴an=33–2n.令an≥0,则33–2n.≥0,n≤,因为n,所以n≤16时,an≥0；n≥17时，an＜0.所以本题Pn的求值问题应分两种情况讨论.当n≤16时,Pn=|a1|+|a2|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=a1+a2+…+a16–a17–a18–…–an=(–a1–a2–…–a16–a17–a18–…–an)+2(a1+a2+…+a16)=–Sn+2（a1+a2+…+a16）=–Sn+2S16.因为S16=32×16–162=16×16=256,Sn=32n–n2,所以Pn=512–32n+n2.∴数列的前几n项和Pn=.【评析】由于|an|=故求Pn的值需分两种情况,转化为一个分段函数,从而使得问题得以解决.有些数学概念有明显的分类特点,特别绝对值的概念,因此涉及到这些概念时,常常需要分类讨论.类型二：由图形或图像引起的分类讨论例2设a为实数，记函数的最大值为g(a).（1）设t=求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（2）求g(a)；（3）试求满足g(a)=g的所有实数a.【分析】构建目标函数，依据对称轴和区间的位置关系合理分类.【解析】（1）∵t=，∴要使t有意义，必须1+x≥0，且1–x≥0，即–1≤x≤1.∵t2=2+2[2,4],t≥0.(*)∴x的取值范围是[].由(*)得，∴m(t)=a（）+t=[].（2）由题意知g(a)即为函数m(t)=[]的最大值.注意到直线t=–是抛物线m(t)=的对称轴,分以下几种情况讨论.当a＞0时,函数y=m(t),的图像是开口向上的抛物线的一段,由t=–<0知m(t)在[]上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2.当a=0时,m(t)=t,∴g(a)=2.当a<0时,函数y=m(t),的图像是开口向下的抛物线的一段.若t=,即,则g(a)=m()=.若t=,即a,则g(a)=m()=–a–.若t=–(2,+∞),即a,则g(a)=m(2)=a+2.综上有g(a)=（3）方法一：①当a<–2 时,,此时,g(a)=，g()=+2.由2+=解得a=–1–，与a<–2矛盾.②当–2≤a<–时,.此时,g(a)=,g()=,由, 解得a=矛盾.③当≤a≤时,≤≤,此时g(a)==g()④当<a≤–时,–2≤<–,此时,g(a)=–a–,与a≤矛盾.⑤当–<a<0时,g()<–2,此时g(a)=a+2,g()=,由a+2=解得a=–2,与a>–矛盾.⑥当a>0时,>0,此时g(a)=a+2，g()=+2.由a+2=+2解得a=±1.由a>0知a=1.综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为：≤a≤或a=1.方法二：当a>–时,g(a)=a+2>.当<a≤–时,,,所以–a≠,g(a)=–a,>.因此,当a>时,g(a)>.当a>0时,,由g(a)=g()知a+2=+2,解得a=1.当a<0时,a=1,因此,a≤–1或≤–1,从而,g(a)=或g()=.要使g(a)=g(),必须有a≤–,≤–,即≤a≤–,此时g(a)==g().综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:≤a≤–或a=1.【评析】一元二次函数图像的开口方向及对称轴位置是影响二次函数性质的主要因素,在涉及系数含参数的二次函数在定区间的最值或已知二次函数求其在动区间的最类型三：由参数变化引起的分类讨论例3已知y=x2+ax+3–a在区间[–2,2]上恒非负,求实数a的取值范围.【分析】即y=x2+ax+3–a在区间[–2,2]上的最小值非负.【解析】设f(x)=x2+ax+3–a=(x+)2+3–a–,x[–2,2]由题意知,f(x)≥0,在[–2,2]上恒成立,故只须f(x)在[–2,2]上的最小值非负即可.①当–<–2,即a>4时f(x)在区间[–2,2]上递增所以≥0,解得a≤,与a>4矛盾,故舍去.②当–2<–<2,即–4≤a≤4时,≥0,解得：－6≤a≤2，又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当–>2,即a<－4时f(x)在区间[–2,2]上递减,所以≥0,解得a≥－7，又因为a<－4，所以－7≤a≤2.【评析】首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数f(x)图象的对称轴为x=－,由于a为参数不确定,所以要分－在区间[–2,2]的左、右侧和区间上三种情况讨论.类型四：由定理、公式引起的分类讨论例4设等比数例的公比为q（q>0）,它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.【分析】利用前n项和公式列出方程组求a1和q.【解析】若q=1,则na1=40,2na1=80,矛盾,②①②①所以q≠1,所以②①②①得:1+qn=82,所以qn=81 ③将式③代入式①：q=1+2a1④又因为q>0,所以q>1,所以a1>0.所以为递增数列,所以an=a1qn-1=27.⑤由式③、④、⑤得：q=3，a1=1，n=4，所以a2n=a8=1×37=2187.【评析】解决本题应关注三个方面：（1）等比数列中涉及到a1，q，n，Sn，an5个基本量时，可利用公式建立关系，已知其中3个量可求出另外2个量；（2）解方程组时，运用的变形方法；（3）利用等比数列求和时，应对公比q是否为1进行讨论.类型五：由实际意义引起的分类讨论例5一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s（千米），水速为常量P（千米/小时），船在静水中的最大速度为q（千米/小时），且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数k,(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米/小时)的函数,并指出其定义域；（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？【分析】本题难点在第(2)小题求最小值，表面上看似乎用基本不等式就可以解决.但实际发现现在一定条件下“等号”不能成立，故应分类讨论.【解析】（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv2，全程航行时间为，于是全程燃料费用y=kv2，故所求函数是y=ks(p<v<q),定义域是(p,q].（2）y=ks≥.其中取“=”的充要条件是v–p=，即v=2p.①当v=2p(p,q],即2P≤q时,ymin=f(2p)=4ksp.此时,船的前进速度等于2P–p=p(千米/小时).②当v=2p,即2P时,任取v1，v2且v1<v2,则p2–(v1–p)(v2–p)>p2–(q–p)(q–p)=q(2p–q)>0.从而y1–y2=ks[(v1–v2)+()]=[p2–(v1–p)(v2–p)]>0.故函数y在区间(p,q]内递减,此时y(v)≥y(q).即ymin=y(q)=ks，此时，船的前进速度等于q–p.当2p≤q时,船的实际前进速度应为P千米/小时；当2p>q时,船的实际前进速度为(q–p)千米/小时.【评析】在求解函数解析式类的应用题时应有求定义域的意识，第（2）问实质上有两个要求：其一是要有分类讨论的意识；其二要解决2p>q时,何时取最小值.类型六：由运算方法、结果的不同引起的分类例6解关于x的不等式：（m+3）x2+（m+2）x–1>0.【分析】考虑到是否为二次不等式,及二次不等式对应二次函数图像的确定对m进行分类讨论.【解析】（1）当m=–3时,原不等式为–x–1>0,其解为x<–1.（2）当m>–3时,原不等式化为(x–)(x+1)>0，其解为x<–1或m>.（3）当m<–3时,原不等式化为(x–)(x+1)<0.①当–4<m<–3时,<–1,故原不等式的解为<x<–1；②当m<–4时,>–1,故原不等式的解为–1<x<；③当m=–4时,原不等式无解.【评析】解一元二次不等式应结合一元二次函数、一元二次方程，利用图像写解集，故解答的整个过程应围绕图像的确定展开.三.跟踪练习：练习1解关于x的不等式：eq\f(a(x-1),x-2)＞1（a≠1）考查目的：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a＞1和a＜1，在a<1时，又需要讨论两个根2与eq\f(a-2,a-1)的大小，又分为三类，即a＜0，a=0和0＜a＜1.解析：原不等式等价于：eq\f((a-1)x-(a-2),x-2)＞0，即(a﹣1)(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＞0 ①若a>1，则①等价于(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＞0.又∵2﹣eq\f(a-2,a-1)＝﹣eq\f(1,a-1)﹣1＜0，∴eq\f(a-2,a-1)＜2∴原不等式的解集为；(﹣∞，eq\f(a-2,a-1))∪（2,＋∞）；若a<1时，则①等价于(x﹣eq\f(a-2,a-1))(x﹣2)＜0.由于2﹣eq\f(a-2,a-1)＝eq\f(a,a-1)，当0<a<1时，eq\f(a-2,a-1)>2，∴原不等式的解集为(2，eq\f(a-2,a-1)).当a<0时，eq\f(a-2,a-1)<2，∴原不等式的解集为(eq\f(a-2,a-1)，2).当a＝0时，原不等式为(x﹣2)2＜0，解集为.综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(eq\f(a-2,a-1)，2)；当a＝0时，原不等式的解集为；当0<a<1时,原不等式的解集为(2，eq\f(a-2,a-1))当a>1时，原不等式的解集为；(﹣∞，eq\f(a-2,a-1))∪（2,＋∞）.练习2在等比数列{an}中，Sn=a1+a2+a3+…+an，Tn=a1a2a3…an，Pn=eq\f(1,a1)+eq\f(1,a2)+eq\f(1,a3)+…+eq\f(1,an)，求证：(eq\f(Sn,Pn))eq\s(n,,)=Tn2.考查目的：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多，必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性.解析：由所要证明的等式，知须分别求出Sn、Tn、Pn，因此要用等比数列的前n项和公式，根据公式的要求必须对公比q进行分类讨论.(1)当q=1时，Sn=na1,Tn=a1n，Pn=eq\f(n,a1)，∴(eq\f(Sn,Pn))eq\s(n,,)=[eq\f(na1,eq\f(n,a1))]eq\s(n,,)=a12n，Tn2=a12n，∴(eq\f(Sn,Pn))eq\s(n,,)=Tn2；(2)当q≠1时，Sn=eq\f(a1(1-qn),1-q)，Tn=a1n·qeq\s(eq\f(n(n-1),2),,)，Pn=eq\f(eq\f(1,a1)(1-eq\f(1,qn)),1-eq\f(1,q))=eq\f(qn+1-q,a1qn(q-1))，∴eq\f(Sn,Pn)=a12qn-1，(eq\f(Sn,Pn))eq\s(n,,)=a12nqn(n-1)，Tn2=a12nqn(n-1)，∴(eq\f(Sn,Pn))eq\s(n,,)=Tn2.练习3解关于x的不等式eq\r(3logeq\s(,a)x-2)＜2logeq\s(,a)x-1(a＞0,a≠1)考查目的：本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对a进行分类讨论.解析；转化为等价不等式组，注意对于logeq\s(,a)x的底数的a进行讨论.原不等式等价于eq\b\lc\{(\s(,,,,))eq\s(3logeq\s(,a)x-2≥0①,3logeq\s(,a)x-2<(2logeq\s(,a)x-1)2②,2logeq\s(,a)x-1>0③)由①得logeq\s(,a)x≥eq\f(2,3)，由②得logeq\s(,a)x<eq\f(3,4)或logeq\s(,a)x>1，由③得logeq\s(,a)x>eq\f(1,2)，∴eq\f(2,3)≤logeq\s(,a)x<eq\f(3,4)或logeq\s(,a)x>1，当a>1时，所求不等式的解集为{x|aeq\s(eq\f(2,3),)≤x<aeq\s(eq\f(3,4),)或x>a}；当0<a<1时，所求不等式的解集为{x|aeq\s(eq\f(3,4),)<x≤aeq\s(eq\f(2,3),)或0<x<a}.练习4如图，已知一条线段AB，它的两个端点分别在直二面角P-l-Q的两个平面内移动,若AB和平面P、Q所成的角分别为、，试讨论+的范围.考查目的：在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究.解析：(1)当AB⊥l时，+=90.(2)AB与l不垂直时，在平面P内作AC⊥l，C为垂足，连结BC，∵平面P⊥平面Q，∴AC⊥平面Q，∴∠ABC是AB与平面Q所成的角，即∠ABC=，在平面Q内作BD⊥l，垂足为D，连结AD，同理∠BAD=，在Rt△BDA和Rt△ACB中，BD＜BC，eq\f(BD,AB)＜eq\f(BC,AB),即sin＜sin∠BAC,∵和∠BAC均为锐角，∴＜∠BAC，而∠BAC+=90，∴+＜90.(3)若AB与l重合，则+=0.全品高考网综上讨论可知0≤+≤90.练习5四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？考查目的：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类.第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有Aeq\o(2,3)Aeq\o(4,4)(种)；第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,3)Aeq\o(2,2)Aeq\o(4,4)(种)；第三，甲前面仅有一个女孩，有：Aeq\o(1,3)Aeq\o(5,5)(种)；∴满足条件的站法为：Aeq\o(2,3)Aeq\o(4,4)+Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,3)Aeq\o(2,2)Aeq\o(4,4)+Aeq\o(1,3)Aeq\o(5,5)=936(种).练习6已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.考查目的：点M的轨迹方程由已知条件很容易得出，本题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x2+y2项系数λ2-1是否等于零进行了讨论.解析：如图，设MN切圆于N，则由动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|，λ＞0}.∵ON⊥MN，|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-1.设动点M的坐标为(x,y)，则x2+y2﹣1=λ2[(x-2)2+y2]，整理，得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.故M的轨迹方程是(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.(1)当λ=1时，方程化为x=eq\f(5,4)，且交x轴于点(eq\f(5,4)，0)的直线；(2)当λ≠时，方程化为(x﹣eq\f(2λ2,λ2-1))2+y2=eq\f(1+3λ2,(λ2-1)2)，它是以点(eq\f(2λ2,λ2-1)，0)为圆心，eq\f(eq\r(1+3λ2),|λ2-1|)为半径的圆.练习7.设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。考查目的：本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。解析比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1当0<a<1时，log(1－x)>0，log(1＋x)<0，所以

|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，所以

|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x)－log(1＋x)＝－log(1－x)>0；由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。练习8已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.CA∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ。考查目的：本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法解析由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。C·C＋C·C＋C·C＝1084另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。练习9设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。①.证明：<lgS；②.是否存在常数c>0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)考查目的：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。解析设{a}的公比q，则a>0，q>0①．当q＝1时，S＝na，从而SS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a<0；当q≠1时，S＝，从而SS－S＝－＝－aq<0；由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。②.要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),分两种情况讨论如下：全品高考网当q＝1时，S＝na，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][－c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]∵aq≠0∴a－c(1－q)＝0即c＝而S－c＝S－＝－<0∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0,使得＝lg（S－c）成立。练习10设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。

14x

14x考查目的：含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。解析当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－∴或或全品高考网∴a≥1或<a<1或φ即a>；当a<0时，，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意练习11.解不等式>0(a为常数，a≠－)考查目的：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。解析2a＋1>0时，a>－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x>0，解得：x≠0；当－<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－<a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－时，6a<x<－4a。练习12.在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。考查目的：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。解析设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则|MA|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；全品高考网综上所述，有f(a)＝。练习13已知集合Ａ和集合Ｂ各含有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，试求同时满足下面两个条件的集合Ｃ的个数：

（Ⅰ）ＣＡ∪Ｂ，且Ｃ中含有３个元素；

（Ⅱ）Ｃ∩Ａ≠φ（φ表示空集）.

考查目的：本题是：“包含与排除”的基本问题.正确解题的前提是正确的分类，达到分类完整且子域互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为属于Ａ的元素与属于Ｂ的元素两类，则子域不能互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为既属于Ａ又属于Ｂ，属于Ａ但不属于Ｂ，属于Ｂ但不属于Ａ之类，虽然分类思想方法是对的，但却难以确定集合Ｃ的元素如何取法才能满足题中条件.

在确定集合Ｃ的个数时，要全面考虑，把各种可能的情况都取完，才不会遗漏；把所有不可能的情况都排除，才不致重复.解析：集合Ｃ的３个元素在Ａ∪Ｂ中取得，Ａ∪Ｂ中的元素包括两类：①属于Ａ的元素；②属于Ｂ而不属于Ａ的元素.因此，组成Ｃ的３个元素的取法有四种：（１）①取０个，②取３个；（２）①取１个，②取２个；（３）①取２个，②取１个；（４）①取３个，②取０个，但由条件（Ⅱ）知，Ｃ∩Ａ≠φ，因此，第一种取法必须排除，故集合Ｃ的个数是（２）、（３）、（４）三种取法之和.

解法１∵A，Ｂ各有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，∴Ａ∪Ｂ中元素的个数是12+12-4=20（个）.其中，属于Ａ的元素１２个，属于Ｂ而不属于Ａ的元素８个.

要使Ｃ∩Ａ≠φ，则组成Ｃ中的元素至少有１个含在Ａ中，故集合Ｃ的个数是

（１）只含Ａ中１个元素的有个；

（２）含Ａ中２个元素的有个；

（３）含Ａ中３个元素的有个.

故所求的集合Ｃ的个数共有（个）.

解法２由解法１知，Ａ∪Ｂ有２０个元素，满足条件（Ⅰ）的集合Ｃ的个数是个.

但如果Ｃ中的元素都在属于Ｂ而不属于Ａ的集合中取，则Ｃ∩Ａ≠φ，不满足条件（Ⅱ），属于这种情况的有个，应该排除，故所求的集合Ｃ的个数共有＝1084（个）.

练14矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上有一动点Ｅ，ＡＢ＝a，ＡＤ＝b，如图４（１）.沿ＡＥ将△ＡＤＥ折起得直二面角Ｄ１－ＡＥ－Ｂ.设ＢＤ１＝d，如图４（２），求d的最小值.