新教材北师大版数学课后落实2-2-2向量的减法

课后素养落实(十四)向量的减法(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))等于()A．eq\o(AB,\s\up8(→))B．eq\o(BA,\s\up8(→))C．eq\o(CD,\s\up8(→))D．eq\o(DB,\s\up8(→))A[eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→)).]2．下列等式中，正确的个数为()①0eq\a\vs4\al(－)a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0eq\a\vs4\al(＝)a；⑤a－bA．3B．4C．5D．6C[根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，C.]3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))等于()A．eq\o(CB,\s\up8(→))B．eq\o(BC,\s\up8(→))C．eq\o(CD,\s\up8(→))D．eq\o(DC,\s\up8(→))C[由向量的减法的三角形法则得eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→)).]4．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BD,\s\up8(→)) D．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0C[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(DC,\s\up8(→))＝0，A正确；∵eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，B正确；∵eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(DB,\s\up8(→))，C错误；∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\o(CB,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝0，D正确．]5．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m－n＝0 B．m＋n＝0C．|m|＝|n| D．方向相反A[非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.]二、填空题6.eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(DB,\s\up8(→))＝________．eq\o(BF,\s\up8(→))[eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BF,\s\up8(→)).]7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝________．eq\o(CA,\s\up8(→))[eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→)).]8．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．15[当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为3－2＝1；这时|a－b|取得最大值，其值为3＋2＝5.]三、解答题9．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求向量a与a＋b的夹角．[解]设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a－b＝eq\o(BA,\s\up8(→))，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.∵eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.∴a与a＋b的夹角为30°.10．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，先用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up8(→))和eq\o(DB,\s\up8(→))，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？[解]由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，同样，由向量的减法知eq\o(DB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝a－b.当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．11.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝0B．eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))＝0C．eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→))＝0D．eq\o(BD,\s\up8(→))－eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\o(FC,\s\up8(→))＝0A[eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝0.]12．在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))|，则有()A．eq\o(AD,\s\up8(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up8(→))＝0或eq\o(AD,\s\up8(→))＝0C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形C[eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))|，∴ABCD是矩形．]13．边长为1的正△ABC中，|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))|的值为________．eq\r(3)[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→)).在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝eq\r(3)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(BC,\s\up8(→))|＝eq\r(3).]14.如图，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))相等的向量有________．①eq\o(CF,\s\up8(→))；②eq\o(AD,\s\up8(→))；③eq\o(BE,\s\up8(→))；④eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))；⑤eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))；⑥eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))；⑦eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→)).①④[因为四边形ACDF是平行四边形，所以eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))，因为四边形ABDE是平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，综上知与eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))相等的向量是①④.]15．如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：eq\o(OH,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)).[证明]作圆的直径BD，连接DA、DC，则eq\o(OB,\s\up8(→))＝－eq\o(OD,\s\up8(→))，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB.