高职应用数学 4

导数的应用第4章4利用导数求最值6导数在经济分析中的应用1利用导数求极限(洛必达法则)4.1利用导数求极限(洛必达法则)定理(洛必达法则)定理(洛必达法则)若(2)f(x)与g(x)在x₀的某邻域内(点x₀可除外)可导，且g'(x)≠0,(3)(A为有限数，也可为+0或-o),则这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则。例5求解0解1Xxx²¹x解此题属0-型未定式，因为所以当x→0+时，上式右端是型未定式，应用洛必达法则，得函数的单调性函数的极值从图4-1可直观地看出，如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加，那么它的切线斜率f'(x)都是正的；如果函数y=f(x)在[a,b]上单调减少，那么它的切线斜率f'(x)都是负的。(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则函数f(x)在[a,b]上单调减少。从图4-3可以看出，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即在极值点x₀处，必有f(x₀)=0,于是有下面的定理：定理2(极值存在的必要条件)设f(x)在点x₀处具有导数，并且在点处取得极值，那么f'(x)=0。X0+0 0+U1∩在区间(-,0)和上曲线是凹的，在区间上曲线是凸的。点(0,1)和是曲线的拐点。例2求函数f(x)=e-最值。因此f(x)在x=0处取得极大值，所以f(x)在(-o,+o)的最大值为f(0)=1,因为K与点的位置无关，所以A点处的曲率为设y=f(x)且f(x)具有二阶导数(这时f’(x)连续，从而曲线是光滑的)。所以，两边取微分，有又知ds=√1+y²dx,从而得曲率的计算公式，即例1计算直线y=ax+b上任意一点的曲率。解y'=a,y"=0于是例2计算双曲线xy=1所以，双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率为工件A工件A满足曲线方程y=x²,工件B满足曲线方程y=x²处的弯曲程度。,试比较这两个工件在x=1解工件A在x=1处有其曲率为工件B在x=1处有其曲率为所以工件A在x=1处的弯曲程度比B大。设曲线在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0)。在点M(x,y)处的曲线上圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径p叫做曲线在点M处的曲率半径。曲线在点M处的曲率K(K≠0)与曲线在点M处的曲率半径p有如下关系：例4设工件表面的截线为抛物线y=0.4x²。现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适?。解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径y'=0.8x,y”=0.8把它们代入曲率公式，得y|o=0,y”|=o=0.8抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。1.边际成本例1某种产品生产x件时，总成本C(x)=100+6x-0.02x²(元)。求当产量由于平均成本=总成本/产量，边际成本=C'(x),所以，生产100件时，总成本为C(100)=100+6×100-0.02×100²=500(元)2.2.边际收入经济学中，边际收入是指总收入R(x)对销售量x的变化率R'(x)。其经济意义是当销售量达到某一点时，再多销售一个单位产品所增加的收入。边际收入一般记作MR,即MR=R'(x)。例2设某产品的价格与销售量的关系为,求销售量为20时的总收入、平均收入与边际收入。解由于总收入=销售量×价格，平均收入=总收入/销售量，边际收入=总收入的导数，故先求出总收入、平均收入与边际收入，再将20代入。总收入函数为平均收入函数为边际收入函数为2xMR=R'(x)=10-5经济学中，边际利润是指总利润L(x)对销售量x的变化率L'(x)。其经济意义是当销售量达到某一点时，再多销售一个单位产品所增加的利润，由于总利润为总收入与总成本的差，即L(x)=R(x)-C(x),故两边同时求导得L'(x)=R'(x)-C'(x)。例3某工厂生产x台产品的总成本为C(x)=300+11x(元),总收入为R(x)=50x-0.03x²(元),试求：(1)边际利润函数；(2)产量为600台和700台时的边际利润，并说明其经济意义；(3)当产量是多少时获得最大利润，最大利润是多少?解(1)总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=39x-0.03x²-300(2)将x=600,x=700代入边际利润函数得L'(600)=39-0.06×600=3其经济意义为当产量为600台时，再多生产一台利润将增加3元。其经济意义为当产量为700台时，再多生产一台利润将减少3元。因为L"(x)=-0.06<0,所以，当x=650时利润最大，最大利润为L(650)=39×650-0.03×650²-3L(650)=39×650-0.03×650²-3由定义可知例4某种商品市场的需求量Q(单位：件)是价格P(单位：元)的函数求价格为每件5元时的弹性系数，并解释其经济意义。价格定为每件5元时，市场的需求弹性系数为这就是说，当这种商品的价格在5元/件时，价格上升1%,市场的需求量相应地下降约0.67%。例5种设某种商品需求量D(单位：件)对价格P(单位：元)的函数关系是试求价格为3元时的需求弹性。ED二PD'(P)=P