基础数学（第11章）

主讲老师：第10章三角计算第11章数列第12章平面向量第13章圆锥曲线Hso.S=v七aa规律，来推测未来的一些事情.例出过年的时候能存下多少钱了.从款之间有什么关系?存下来的钱数是如何计算的?项公式的表示方法以及等比数列的等比中项.公式，并掌握其计算方法.项和公式及其计算方法.数列的概念11.1.1数列及其相关概念小明这次数学考试考了88分.妈妈答应小明，如果下次考试也能考88分，就奖励他10元钱；如果下次考的分数比这次高，而且每高一分，就再多奖励他5元钱.那么，小明下次考88分、89分……100分，分别会被奖励多少钱?学以致用写出正偶数按从小到大顺序构成的数列，并指出第1项和第5项各是多少解正偶数按从小到大顺序构成的数列为2,4,6,8,10,..其中q₁=2,a₅=10.2.数列1,2,3,4,5,6和数列6,5,4,3,2,1是同一个数列吗?(1)0～20之间的质数按从小到大顺序构成的数列；(2)2的正指数幂按从小到大顺序构成的数列；(3)数列22,24,26,28,.68,70;(4)数列-5,10,-15,20,-25,30,…;(5)无穷多个1构成的数列.小红和小强玩游戏，小红报出一个自然数，小强报倍的数值，轮流进行下去.报错或没有在5s内报出正确的数都算输.如果游戏顺利进行下去，小红和小强报出的这些数有什么规律?它们可以用一个通式来表示吗?(1)并不是每个数列(1)并不是每个数列都有通项公式.(2)在木章中，若数如果数列{a}的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个公式就称为这个数列的通项公式.数列的通项公式为数列3,3,3,3,3,.的通项公式为类似于数列3,3,3,3,3,…,各项都相等的数列称为常数列.等差数列等差数列的概念学以致用求下列等差数列中的未知项.解(1)由等差中项的定义可得(2)由等差中项的定义可得1.判断下列数列是否为等差数列.2.求下列等差数列中的未知项.3.在2和26之间插入5个数，使它们与这两个数构成等差数列，求这个数列的公差和中间项.在等差数列的通项公式中，有a,,a,n,在等差数列的通项公式中，有a,,a,n,d这4个量，通常只要知道其中的3个，就可以求出第4个了，现在请大家想一想，当所求的量不同时，应分别采用什么样的计算方法呢?通项公式60+10n²,n为自然数，并且小明分数最低，小军分数最高.”那么，小红、小明和小军的成绩分别可能是多少呢?学以致用O例2求等差数列10,6,2,…的第5项和第15项.解因为q=10,d=a₂-q₁=6-10=-4,所以该数列的通项公式a,=a₁+(n-1)d=10+(n-1)×(-4)=-4n+14.因此，该数列的第5项为该数列的第15项为跃跃欲试学以致用解因为q=2,d=a₂-a₁=5-2=3,所以该数列的通项公式a=q+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1.设该数列的第n项等于59,则解得n=20.因此，该数列的第20项是59.生活中的数学著名数学家高斯在年幼时就展现出了惊人的天赋.在高斯10岁那年，他的小学老师出了一道题目，要求学生将1到100的所有整数加起来.当其他学生忙于把100个整数逐个相加时，高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项和的问题.此数列的首项为1,第100项为100,公差为1,根据高斯的算法可知，其前100项的和为2将式(11-2)和式(11-3)相加可得代入式(11-4),可得因此，在已知等差数列{a,}的a,n和d时，可利用式(11-5)直接计算S..O例5在等差数列{a}中，ao=29,d=2,求前20项的和SO例5解由已知条件可得，解得a₁=-9.因此，其前20项之和为学以致用以下关系：所以，{a,}是等差数列O例5在等差数列{a}中，ao=29,d=2,求前20项的和S.O例5解由已知条件可得，解得q=-9.因此，其前20项之和为(1)已知q=5,d=5,求S;(2)已知q=5,a₂=15,求S;(3)已知4=5,a,=15,求S.前n项和公式.等比数列等比数列的概念家里要来客人，小明一家人正在为客人准备水果.小明切1个苹果，小明的妈妈切2个苹果，小明的爸爸切4个苹果，每个苹果都切了4瓣.那么小明一家人各切了多少瓣苹果?这几个数字之间有什么关系?学以致用求下列等比数列中的未知项解(1)由等比中项的定义可得a²=3×12,解得a=±6.(2)由等比数列的定义可得,则ab=8,b²=a.将b²=a代入ab=8中，可得b³=8,解得b=2.将b=2代入ab=8中，可得a=4.个苹果.那么，如果小红有4个竹筐，最多可以摘多少个苹果?方法?其通项公式.2⁻2⁻◎例2一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.解设这个等比数列的第1项为a,公比为q,那么两式相除，可得将ag=18代入式(1),可得.于是a—因此，此等比数列的第1项和第2项分别是和8.前前n项和公式下面我们来探求等比数列的前n项和公式.等比数列{a,}的前n项和为根据等比数列的通项公式，式(11-7)可写为S,=q₁+qq+a₁q²+…+qq”-1.用公比q乘以式(11-8)两边，可得qS₁=a₁q+aq²+a₁q³+…+aq"¹+q₁q".将式(11-8)和式(11-9)的两边分别相减，得当q≠1时，等比数列{a}的前n项和公式为,q≠1.求下列等比数列前8项的和.解(1)因为,所以当n=8时，,(2)因为q=4,q=-2,所以当n=8时，数列的应用蜡烛?中间撕开.如此重复，又撕了5次.请问，此时来纸张面积的几分之一?S,之间的关系.这些知识可以帮助我们轻松地解决一些实面介绍等比数列的一些应用.年的84%.这种物质经过多久会衰变为最初的一半?(精确到1解设这种物质最初的量是1,经过n年，剩余量是an,由已知条件公式为a,=0.84".因此，这种物质经过大约4年会衰变为最初的一半.利息的总和(简称本利和)作方法.例4某人从银行贷款10000元，贷款期限为5年，年利率为5.20%,按复利计息法计算利息.如果5年后一次性还款，此人应还银行多少钱?(精确到0.01元)解贷款一年后的本利和为依此类推，从一年后起，每年的本利和可构成等比数列as=10000×1.052⁵=12884.83.因此，5年后此人应还银行12884.83元.例5某公司对某企业10年内的投资计划为第一年投资100万元，之后每年的投资额为上一年的90%,求10年内该公司对该企业的投资总额.(精确到1万元)解10年内，各年的投资额依次为这是一个首项a₁=100,公比q=90%,项数n=10的等比数列.由求和公式可得因此，10年内该公司对该企业的投资总额约为651万元.1.某企业2014年的年产值为2000万元.若该公司的年产值从2015年开始，每年都比上一年增长10%,那么该企业2022年的年产值为多少?(精确到0.01万元)2.某人计划贷款买一辆家用汽车，贷款150000元，贷款期限为5年，年利率为5.20%,按复利计息法计算利息.如果5年后一次性还款，此人应还银行多少钱?(精确到0.013.某商场第1年销售计算机5000台，如果以后每年的销售量都比上一年增长10%,那么5年内该商场可销售计算机多少台?