概率论与数理统计（第7章）

第7章假设检验第6章讨论了参数估计问题，即对样本进行适当加工，以推断出参数的估计值和置信区间.而检验假设是先假设总体具有某种特征(如总体的参数值),然后再对样本进行加工，即构造一个检验统计量，推断所作假设是否合理，以对所提出的假设作出是接受还是拒绝的决策.第7章假设检验下面，我们先结合具体的例子来说明假设检验所要解决的问题.例1用一台包装机包装大米.设每一袋大米的质量是一个随机变量，且已知它服从正态分布.当包装机正常工作时，平均每袋大米的质量为50kg标准差为0.5kg.现随机抽取该包装机包装的12袋大米，称得其质量(单49.6,48.8,51.3,49.4,49.3,48.试问这台包装机工作是否正常?第7章假设检验7.1.1假设检验的引入分析每袋大米的质量X～N(50,0.5²),经计算12袋大米的平均质量为即x≠μ(μo=50)则可能有以下两种情况：(1)包装机工作正常，但由于抽样的随机性导致样本均值与总体均值有一定差异，这种误差属于正常的随机波动；(2)包装机工作异常，导致样本均值小于总体均值，这种误差属于系统误差.第7章假设检验7.1.1假设检验的引入分析我们希望知道，甲、乙车间的两个样本的均值和方差的差异是属于正常的随机误差，还是属于系统误差?如何判断?判断的准则是什么?以上两个例子都属于参数检验问题.另外，还有非参数检验问题，如关于总体服从哪种分布(如正态分布、泊松分布)的假设检验.第7章假设检验7.1.2判断“假设”的依据第7章假设检验7.1.37.1.3两类错误P{拒绝HoIH,为真}=α(7-1)第7章假设检验一般地，假设检验可分为以下五个步骤.(1)根据要检验的问题提出原假设H。和对立假设H,;(2)在原假设H。成立的条件下，确定检验统计量；(3)在给定的显著水平α下，确定拒绝域；(4)根据样本观测值x,x₂,…,x,,计算统计量的观测值；(5)若统计量的观测值落在拒绝域内，则拒绝原假设H。而接受对立假设H₁反之，若统计量的观测值落在接受域，则接受H。而拒绝H₁·第7章假设检验第7章假设检验7.2正态总体均值的假设检验对于给定的显著性水平α,拒绝域为第7章假设检验7.3.1大样本单个总体比率的检验对于给定的显著性水平α,有(1)对假设(7-11),P{|z]…Za/2}=α,可得拒绝域为{z||z|>Za/2};(2)对假设(7-12),P{z…Za}=α,可得拒绝域为{z|z>za};(3)对假设(7-13),P(z,,-za}=α,可得拒绝域为{z|z<-za}.第7章假设检验上述检验法称为x²检验法.关于σ²的另外两个检验问题的拒绝域如表7-6所示.表7-6条件原假设H。检验统计量对立假设H,拒绝域μ未知x²剂x²a₂(n-1)或x²xz/z(n-1)x².x²(n-1)x²,x²a(n-1)μ已知x²剂x²a/₂(n)或x²xa/₂(n)第7章假设检验情形1若检验的拒绝域为：<检验统计量的值为to,且<,则该检验的p值计第7章假设检验例4某种配偶的后代按体格属性分为三类，其数目分别是10,53,46.按照某种遗传模型，三类频率之比应为p²:2p(1-p):(1-p)²,问数据与模型是否相等?(取α=0.05.)法来求p,则第7章假设检验7.6分布假设的检验验例4某种配偶的后代按体格属性分为三类，其数目分别是10,53,46.按照某种遗传模型，三类频率之比应为p²:2p(I-p):(1-p)²,问数据与模型是否相等?(取α=0.05.)法来求p,则计算得,由此第7章假设检验已知α=0.05,查表得,故拒绝域为已知α=0.05,查表得将相关数据代入公式得第7章假设检验例5地震的准确预报是一个世界难题.要解决这一世界难题，应更多、更全面地了解地震规律，有人统计了从1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界记录到里氏四级和四级以上的地震共计162次，地震发生的间隔时间及频数如表7-12所示.地震间隔天数频数8668根据以往经验，两次突发事件之间的时间间隔一般服从单参数指数分布，取显著性水平α=0.05,检验相继两次地震间隔的天数X是否服从指数分布?故第7章假设检验第7章假设检验解依题意需检验假设然估计0=X.在162次观测中，所用总时间为2231天第7章假设检验7.6分布假设的检验验将X可能的取值区间(0,+o)按记录时间分为k=9个互不重叠的a₂=4.5,a₃=9.5,…,ay=39.5,qo=+o,若H。为真，则X的分布函计算结果如表7-13所示.第7章假设检验表7-13区间序号区间B中响1234568768698第7章假设检验经计算得在给定的显著性水平α=0.05下，查表得,故接受H₀,即根据所记录的数据，在显著性水平α=0.05下，可以认为两次地震间的间隔时间服从参数为13.77的指数分布.第7章假设检验现象的变量是否相互独立.而x²分布可以检验两个变量之间的独立性问题，此时首先要将研究对象的观察数据分别按两个变量进行分类.列联表就是将观察数据按两种因素进行分类表示的表.一般地，设有A,B两因素，各有r和s个水平，交叉分为rs类.随机抽取n个个体，发现其中分到(i,j)类(即该个体因素A取水平i,因素B取水平j)的有n,个，这样列成的表称为rxs列联表，如表7-14所示.第7章假设检验表7-14BA12jS和1.2·nm₂mi₂nnn.n:r.nn.nn..n和1n.;n第7章假设检验7.6.2列联表和独立性检验个个体中其因素B取水平j的个数，当i=j=2时，一共有4类，这种列联表常称为"四格表".第7章假设检验例6某啤酒厂生产和经销三种类型的啤酒：淡啤酒、普通啤酒和黑啤酒.公司市场研究小组通过对三种啤酒的市场分析，提出这样的问题：在啤酒饮用者中，男性和女性对这三种啤酒的偏好是否存在差异?如果对啤酒的偏好与啤酒饮用者的性别相互独立，就会针对所有的啤酒进行广告宣传.可是，如果啤酒的偏好与啤酒饮用者的性别相关，公司就会针对不同的目标市场进行促销活