专题16不联立体系第三讲-三点共线问题

学习数学领悟数学应用数学专题16三点共线问题专题16三点共线问题在处理三点一线问题时，设点法往往比设线法有更大的优势三点共线问题设点法：一般来说有两点是在圆锥曲线上，另一点在坐标轴上，这样问题的核心就是要找到圆锥曲线上两点与之间的联系，把两者之间的联系建立起来．那么用点参法如何解决这一问题呢?我们来看一个具体的例子假设，是椭圆上不同的两点，且直线经过点，则，交叉相乘可得：，我们可以将两边同时平方然后将加以替换，整理，具体过程如下口诀：积加方的双倍，和与双勾来相对，的平方太积极，左右都在不缺位．备注：1当直线经过纵轴上定点时2在双曲线中有类似的结论．直线经过点时，（和椭圆一致），当直线经过纵轴上定点时（和椭圆有区别）,推导过程与椭圆类似，在这里就不重复了.第一讲平方重构法【例1】如图4-3-1所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，，弦经过椭圆的右焦点，且直线的斜率不为零，记直线，的斜率分别为，，试问是否存在常数，使得在绕点旋转的过程中始终成立？图4-3-1第二讲截距点差法我们学过，过不同两点，的直线方程可表示为，但是这种形式都有一定的局限性，不能表示斜率不存在或斜率为零，为了克服它们的局限性，我们将其化为整式，得到上式将会是我们在本节中经常见到的一个式子，分别令和，就能得到直线的轴截距和轴截距的计算公式．、是椭圆上的两点，则以下式子必然成立．，这个式子里和处于交叉状态，又出现了平方差，我们不妨称之为“交叉平方差式”进一步与两点式结合，我们可以得到以下两个结论【例2】（2016•山东）已知椭圆的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）过动点的直线交轴于点，交于点，在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点．（ⅰ）设直线，的斜率分别为，，证明为定值；（ⅱ）求直线的斜率的最小值．【例3】椭圆的左右端点分别为、，为右焦点，、为椭圆上两个动点，且三点共线，求与交点轨迹方程在抛物线中，在斜率表达式“”中本身就可以约分变成（开口朝右时），在三点一线时两两组合很方便列出一个等式，从而得到各点之间的等量关系，所以处理起来会更加方便，我们接下来看下抛物线中的处理方法，【例4】如图4-3-3所示，已知点，，抛物线过点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线，与抛物线的另一交点分别为，，记，的面积分别为，．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．图4-3-3我们还可以推广到更一般的结论：对于抛物线，是抛物线上一点,是平面内两点（，不在抛物线上）且，，三点共同位于一条与轴平行的直线上．图4-3-4为过的一条弦，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，则必有(1)(2)过定点【例5】(湖北十一校第一次联考)：已知直线与抛物线相交于A，B两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是、．(1)求抛物线的方程；(2)求证：当点在抛物线上变动时(只要点、存在且不重合)，直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【例6】已知抛物线Γ：的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足．（1）求抛物线的方程．（2）已知经过点的直线交抛物线于、两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点？如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【例7】已知抛物线：的焦点，是上一点，且．（1）求的方程:（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点。【例8】已知抛物线：的焦点，若平面上一点到焦点F与到准线：的距离之和等于7．（1）求抛物线的方程（2）又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接．同直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由．此类题目通法：（1）此类型必然会涉及两组三点一线（有可能是一组三点一线与一条斜率已知的直线）一组已知，另一组要证明过定点，这两条直线必交于一点，设出点坐标．（2）把两条直线上各自另外两点，分别设为，，注意，，三点均在抛物线上．（3）根据