2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章+第1节+平面向量的概念及线性运算+Word版含解析

/多维层次练32[A级基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CA,\s\up14(→))；②eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OM,\s\up14(→))；③eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(CO,\s\up14(→))；④eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))，其中结果为零向量的是()A．① B．②C．③ D．④解析：由题知结果为零向量的是①④.答案：AD2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a＝2b B．a∥bC．a＝－eq\f(1,3)b D．a⊥b解析：由eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0得eq\f(a,|a|)＝－eq\f(b,|b|)≠0，即a＝－eq\f(b,|b|)·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立．观察选项，C项中a，b共线且方向相反．答案：C3．已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，D解析：因为eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up14(→))，又eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．答案：B4．在△ABC中，G为重心，记eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，则eq\o(CG,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析：因为G为△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AG,\s\up14(→))＝－b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.答案：A5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up14(→))＝2eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：因为2eq\o(OP,\s\up14(→))＝2eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))，所以2eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))，所以点P在线段AB的反向延长线上．答案：B7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))＝neq\o(AN,\s\up14(→))，则m＋n的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为O为BC的中点，所以eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up14(→))＋neq\o(AN,\s\up14(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up14(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up14(→))，因为M，O，N三点共线，所以eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，所以m＋n＝2.答案：B8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up14(→))＝3eq\o(CD,\s\up14(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up14(→))＝xeq\o(AB,\s\up14(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up14(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：设eq\o(CO,\s\up14(→))＝yeq\o(BC,\s\up14(→))，因为eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CO,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋yeq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋y(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up14(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up14(→)).因为eq\o(BC,\s\up14(→))＝3eq\o(CD,\s\up14(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，因为eq\o(AO,\s\up14(→))＝xeq\o(AB,\s\up14(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以x＝－y，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).答案：D9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量eq\o(OA,\s\up14(→))相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量eq\o(OA,\s\up14(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(DO,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→))，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC中，eq\o(CM,\s\up14(→))＝3eq\o(MB,\s\up14(→))，eq\o(AM,\s\up14(→))＝xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))(x，y∈R)，则eq\f(x,y)＝________．解析：由题设可得eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AM,\s\up14(→))＝3(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AM,\s\up14(→)))，即4eq\o(AM,\s\up14(→))＝3eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))，亦即eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→))，则x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).故eq\f(x,y)＝3.答案：311．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)12．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up14(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up14(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up14(→))(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：eq\o(DE,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，因为eq\o(DE,\s\up14(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up14(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up14(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，因此λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[B级能力提升]13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AD,\s\up14(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8) B.eq\f(1,4)C．1 D.eq\f(5,16)解析：eq\o(DE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).答案：A14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1，0)解析：设eq\o(OC,\s\up14(→))＝meq\o(OD,\s\up14(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，所以meq\o(OD,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，即eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up14(→))，又知A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.答案：B15．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝－2eq\o(OB,\s\up14(→))，则△ABC与△AOC的面积之比为________．解析：取AC的中点D，连接OD，则eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝2eq\o(OD,\s\up14(→))，所以eq\o(OB,\s\up14(→))＝－eq\o(OD,\s\up14(→))，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.答案：2∶1[C级素养升华]16．(多选题)(2020·山东四校联考)如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且CD＝2DB，点E在边AD上，且AD＝3AE，则()A.eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up14(→))B.eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))D.eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))解析：因为eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→)))，所以eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up14(→)).答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知eq\o(PA,\s\up14(→))，eq\o(PB,\s\up14(→))为平面内两个不共线的向量，设eq\o(PC,\s\up14(→))＝xeq\o(PA,\s\up14(→))＋yeq\o(PB,\s\up14(→))，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.推广形式：如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设eq\o(PC,\s\up14(→))＝xeq\o(PA,\s\up14(→))＋yeq\o(PB,\s\up14(→))(x，y∈R)．当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若eq\o(PF,\s\up14(→))＝λeq\o(PA,\s\up14(→))＋μeq\o(PB,\s\up14(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得eq\o(PC,\s\up14(→))＝meq\o(PF,\s\up14(→))，则eq\o(PC,\s\up14(→))＝meq\o(PF,\s\up14(→))＝mλeq\o(PA,\s\up14(→))＋mμeq\o(PB,\s\up14(→)).又eq\o(PC,\s\up14(→))＝xeq\o(PA,\s\up14(→))＋yeq\o(PB,\s\up14(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：eq\o(PC,\s\up14(→))＝xeq\o(PA,\s\up14(→))＋yeq\o(PB,\s\up14(→))，则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．[典例1]如图