上海培华学校高一数学文摸底试卷含解析

上海培华学校高一数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点x0所在的一个区间是 (

)A.(－2,－1)

B.(－1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)参考答案：B∴，∴函数在内存在唯一的零点，故选B．

2.若集合中的三个元素是某一个三角形的三条边长，则此三角形一定不是

(）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）锐角三角形

（D）钝角三角形参考答案：略3.设，，，则（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A，，，则，故选．4.设定义:．下列式子错误的是(

▲

)A．B．C．D．参考答案：C5.下列函数中值域为(0,+∞)的是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】对选项逐一分析函数的值域，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由于，所以，即函数的值域为，不符合题意.对于B选项，，所以函数的值域为，不符合题意.对于C选项，函数的值域为，不符合题意.对于D选项，函数，即函数的值域为(0,+∞)，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，属于基础题.6.

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C7.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（） A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1f（x2）的取值范围． 【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=． ②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1． 若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜≤x2＜1， 如图所示： 显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1f（x2）取得最小值， 此时，x1=，x2=，x1f（x2）的最小值为=． 显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1f（x2）趋于最大， 此时，x1趋于，x2趋于，x1f（x2）趋于=． 故x1f（x2）的取值范围为， 故选C． 【点评】本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 8.若关于的一元二次不等式的解集是，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（

）A.9

B．18

C.27

D．36参考答案：B根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．

10.已知△ABC中，BC＝4，AC＝4，∠A＝30°，则∠C等于 ()A．90°

B．60°或120°

C．30°

D．30°或90°参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为

．参考答案：x﹣y+2=0

【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0），所以切点与圆心连线的斜率：=﹣，所以切线的斜率为：，切线方程为：y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．12.方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意，x4+ax﹣9=0的各个实根可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点的横坐标，由于交点要在直线y=x的同侧，可先计算函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），再将函数y=x3纵向平移|a|，数形结合发现只需函数y=x3+a的图象与y=x的交点分布在A的外侧或B的外侧，故计算函数y=x3+a的图象过点A或B时a的值即可的a的范围【解答】解：如图x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C，D的横坐标∵函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），函数y=x3+a的图象可看做是将函数y=x3纵向平移|a|的结果，其图象为关于（0，a）对称的增函数当函数y=x3+a的图象过点A（3，3）时，a=﹣24当函数y=x3+a的图象过点B（﹣3，﹣3）时，a=24∴要使函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C、D均在直线y=x的同侧只需使函数y=x3+a的图象与y=x的交点横坐标大于3或小于﹣3∴数形结合可得a＜﹣24或a＞24故答案为（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）【点评】本题考查了数形结合解决根的存在性及根的个数问题的方法，认真分析“动”函数与“定”函数的关系是解决本题的关键13.O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上） ①动点P满足=++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中． ⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中． 参考答案：②③④⑤【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由=++，得出++=，P是△ABC的重心，判断①错误； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=（+），判断③正确； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=0，判断④正确； 由=+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且=λ（+），⊥，判断⑤正确． 【解答】解：对于①，动点P满足=++，∴=+， ∴++=，∴P是△ABC的重心， ∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误； 对于②，动点P满足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+）， 又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线， ∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确； 对于③，动点P满足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+）； 过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sinB=|sinC=AD， ∴=（+），向量+与BC边的中线共线， 因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确； 对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+），∴=λ（+）=λ（||﹣||）=0， ∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确； 对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0）， 设=，则E为BC的中点，则=λ（+）， 由④知（+）=0，得=0，∴⊥； ∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线； ∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确． 故正确的命题是②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题． 14.=

．参考答案：0【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则求解．【解答】解：==log21=0．故答案为：0．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．15.用二分法研究函数f(x)=x3+3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f()＞0第二次应计算______的值．参考答案：f(0.25)∵第一次经计算∴第二次应计算：f(0.25)

16.已知实数满足条件，则的最大值为

▲

.参考答案：1117.若函数，，则f（x）+g（x）=．参考答案：1+，0≤x≤1【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数，，∴，即0≤x≤1，∴f（x）+g（x）=（1+）+（）=1+．0≤x≤1．故答案为：1+．0≤x≤1．【点评】本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lg，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）﹣f（）=lgx．（1）求f（x）的表达式及定义域；（2）若方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为?，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中函数，以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f（x）的表达式；（2）由（1）中函数f（x）的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据f（x）的定义域即可求出．（3）根据对数的运算性质，可将方程f（x）=lg（8x+m），转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程f（x）=lg（8x+m）的解集为?，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案【解答】解：（1）∵当x＞0时，f（x）﹣f（）=lgx．lg﹣lg=lgx，即lg﹣lg=lgx，即lg（?）=lgx，?=x．整理得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x=0恒成立，∴a=b，又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1．∴f（x）=lg，∵＞0，∴x＜﹣1，或x＞0，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）（2）方程f（x）=lgt有解，即lg=lgt，∴t=，∴x（2﹣t）=t，∴x=，∴＜﹣1，或＞0，解得t＞2，或0＜t＜2，∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），（3）方程f（x）=lg（8x+m）的解集为?，∴lg=lg（8x+m），∴=8x+m，∴8x2+（6+m）x+m=0，方程的解集为?，故有两种情况：①方程8x2+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18，②方程8x2+（6+m）x+m=0有解，两根均在[﹣1，0]内，g（x）=8x2+（6+m）x+m则解得0≤m≤2综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，属于中档题．19.已知函数

(1)若函数在的单调递减区间（—∞,2],求函数在区间[3,5]上的最大值.

(2)若函数在在单区间（—∞,2]上是单调递减,求函数的最大值.参考答案：(1)8

-----6分(2)0

----12分20.（本题满分12分）如图已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），(1）求线段AB中点D坐标；(2）求ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程．参考答案：略21.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量J在1，2，3，…，30这30个整数中等可能随机产生．（1）分别求出（按程序框图正确编程运行时）输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，下面是甲、乙所作频数统计表的部分数据：甲的频数统计表（部分）运行次数输出y=1的频数输出y=2的频数输出y=3的频数3016113…………2000967783250乙的频数统计表（部分）运行次数输出y=1的频数输出y=2的频数输出y=3的频数3013134…………2000998803199当n=2000时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断甲、乙中谁所编写的程序符合算法要求的可能性较大．参考答案：见解析【考点】设计程序框图解决实际问题；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；图表型；概率与统计；算法和程序框图．【分析】（1）由题意可得，变量x是从1，2，3，…30这30个整数中可能随机产生的一个数，共有30中结果，当变量x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29这15个整数中产生时，输出y的值为1，所以P1=，当变量x从2，4，6，8，12，14，16，18，22，24，26，28这12个整数中产生时，输出原点值为2，所以P2=，当变量x从10，20，30这3个整数中产生时，输出y的值为3，所以P3=．…（2）当n=2000时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，即可得解．【解答】（本题满分10分）解：（1）由题意可得，变量x是从1，2，3，…30这30个整数中可能随机产生的一个数，共有30中结果，当变量x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29这15个整数中产生时，输出y的值为1，所以P1=，当变量x