人教A版（2023）必修第一册《4.5.2 用二分法求方程的近似解》提升训练(含解析)

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一、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）函数f（x）=2x-x2的一个零点所在的区间为（）

A.（-1，0）B.（1，0）C.（1，2）D.（2，3）

2.（5分）在用“二分法“求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是

A.B.

C.D.

3.（5分）函数的零点为，

A.B.C.D.

4.（5分）f（x）=3x+3x-8，则函数f（x）的零点落在区间（）参考数据：31.25≈3.9，31.5≈5.2．

A.（1，1.25）B.（1.25，1.5）

C.（1.5，2）D.不能确定

5.（5分）设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是

A.B.C.D.

6.（5分）方程的解所在区间是

A.B.C.D.

7.（5分）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：

则当精确度为时，方程的近似解可取为

A.

B.

C.

D.

8.（5分）函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（）

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

9.（5分）已知函数的部分函数值如下表所示：

那么函数的一个零点近似值精确度为为

A.B.C.D.

10.（5分）设，用二分法求方程在上的近似解的过程中取区间中点，那么下一个有根区间为

A.B.

C.或D.不能确定

11.（5分）用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是（）

A.[-2，1]B.[-1，0]C.[0，1]D.[1，2]

12.（5分）函数在区间内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为

A.B.C.D.

13.（5分）函数的一个零点所在的区间为

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）用二分法求函数f（x）=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：

f（1.6000）≈0.200f（1.5875）≈0.133f（1.5750）≈0.067f（1.5625）≈0.003f（1.5562）≈-0.029f（1.5500）≈-0.060

据此，可得方程f（x）=0的一个近似解（精确到0．Ol）为____．

15.（5分）设x0是方程8-x=lgx的解，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则k=____．

16.（5分）用“二分法”求方程2x+3x-7=0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0=2，那么下一个有根的区间是____．

17.（5分）用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为，需将区间等

分______次．

18.（5分）用“二分法”求方程，在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是______．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19.（12分）已知函数在区间上单调，且有一个零点.

19-1.求实数a的取值范围；

19-2.若，用二分法求方程f(x)＝0在区间上的根.

20.（12分）借助信息技术，用二分法求：

方程的最大的根精确度为；

函数和交点的横坐标精确度为．

21.（12分）已知函数f（x）=lox+x-b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点∈（n，n+1），n∈N*，求n的值．

22.（12分）以下是用二分法求方程的一个近似解精确度的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．

设函数，其图象在上是连续不断的一条曲线．

先求值：________，________，________，________.

所以在区间________内存在零点，填表：

区间中点的符号区间长度

23.（12分）利用计算器，求方程的近似解．精确到

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：∵f（-1）=-

1

2

＜0，

f（0）=1＞0，

f（1）=1＞0，

f（2）=0，

f（3）=-1＜0，

∴f（-1）f（0）＜0，

∴函数的零点在（-1，0）区间上，

故选：A．

2.【答案】D;

【解析】解：第一次所取的区间是，

第二次所取的区间可能为，；

第三次所取的区间可能为，，，

故选D．

由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可求出第二次所取的区间，利用同样的方法即可求得第三次所取的区间．

该题考查的是二分法求函数的近似区间的问题．在解答的过程当中充分体现了二分法解答问题的规律、数据的分析和处理能力．属基础题．

3.【答案】B;

【解析】解：，，

的存在零点．

在定义域上单调递增，

的存在唯一的零点．

故选：．

分别求出和并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间．

这道题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，要判断个数需要判断函数的单调性，属于基础题．

4.【答案】B;

【解析】解：：因为f（1）=3+2-8=1＞0，

f（1.25）=31.25+3×1.25-8≈3.9+3.75-8=-0.35＜0，

f（1.5）=31.5+3×1.5-8≈5.2+4.5-8=1.7＞0，

f（2）=32+3×2-8=7＞0，

所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）．

故选：B．

5.【答案】D;

【解析】解：由，可得，，

根据函数零点的判定定理可得函数有零点的区间是，

故选：．

由题意求得，，根据函数零点的判定定理得出结论．

此题主要考查函数零点的判定定理的应用，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．

6.【答案】D;

【解析】解：设，在上单调递增．

，

根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内

方程的解所在的区间为，

故选：．

判断，在上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出答案．

该题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．

7.【答案】C;

【解析】

该题考查了函数的零点存在定理应用及二分法的应用，属于基础题．

由二分法及函数零点存在定理判断即可．

解：由表格可得，

函数的零点在之间；

结合选项可知，

方程的近似解可取为精确度为可以是；

故选：．

8.【答案】C;

【解析】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数

f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0

∴f（2）f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）

故选C

9.【答案】B;

【解析】

此题主要考查二分法求方程的近似解，属于基础题.

结合函数零点存在性定理及二分法求解即可.

解：易知在上单调递增，

由表格得，且，

函数零点在，

一个近似值为

故选

10.【答案】A;

【解析】

此题主要考查了函数的零点，理解函数零点的判定方法是解决问题的关键．

根据，，，及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间．

解：，

，

，

，

的下一个有根的区间为

故选

11.【答案】A;

【解析】解：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f（a）f（b）＜0．

由于本题中函数f（x）=+5，由于f（-2）=-3，f（1）=6，显然满足f（-2）f（1）＜0，

故函数f（x）=+5的零点可以取的初始区间是[-2，1]，

故选A．

12.【答案】C;

【解析】

此题主要考查二分法，零点存在性定理，属于中档题.

分别代入和，可判断出零点在该范围内，再根据二分法结合对数运算即可.

解：

，，

，

因此，函数的零点在区间内，

故选

13.【答案】C;

【解析】解：，，

，，

函数的零点在内，

故选：．

将，，代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案．

该题考查了函数的零点的判定定理，是一道基础题．

14.【答案】1.56;

【解析】解：由题意知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=-0.029＜0，

∴函数f（x）=3x-x-4的一个零点在区间（1.5625，1.5562）上，

故函数的零点的近似值（精确到0.01）为1.56，可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确到0.01）为1.56，

故答案为：1.56．

15.【答案】7;

【解析】解：因为方程8-x=lgx的解就是函数f（x）=8-x-lgx的零点，

又因为f（1）=7＞0，g（2）=6-lg2＞0f（3）=5-lg3＞0，f（4）=4-lg4＞0，f（5）=3-lg5＞0，f（6）=2-lg6＞0，

f（7）=1-lg7＞0，f（8）=-lg8＜0．

故方程的根在区间（7，8）内，即k=7．

故答案为：7．

16.【答案】（1，2）;

【解析】解：设f（x）=2x+3x-7，

f（1）=2+3-7＜0，f（3）=10＞0，

f（2）=3＞0，

f（x）零点所在的区间为（1，2）

∴方程2x+3x-7=0有根的区间是（1，2），

故答案为：（1，2）．

17.【答案】5;

【解析】解：开区间的长度等于，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，

区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为，

，

解得，

故答案为：．

原来区间的长度等于，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为，利用此信息进行判断

该题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，此题是一道基础题

18.【答案】[2，2.5];

【解析】解：设，

，，

，

零点所在的区间为，

方程有根的区间是，

故答案为．

方程的实根就是对应函数的零点，由，知，零点所在的区间为．

该题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数的零点，函数在区间上存在零点的条件是

函数在区间的端点处的函数值异号．

19.【答案】若，则，与题意不符.

由题意得，(2分)

即或

，实数a的取值范围为(5分)

;若，则，

，，(7分)

函数的零点在上，又，

方程在区间上的根为(10分);

【解析】略

20.【答案】解：（1）令f（x）=2-4-3x+1

则该函数的部分对应值表为

x-2-101234

f（x）-25-21-4-510181

因为三次方程最多有3个实根，所以函数f（x）最多有三个零点，且分别应在区间（-1，0）、（0，1）和区间（2，3）内，这说明方程2-4-3x+1=0的最大的根应在区间（2，3）内．

由下面的表格：

区间区间长度区间中点区间中点的函数值的符号

（2，3）12.5-

（2.5，3）0.52.75+

（2.5，2.75）0.252.625+

（2.5，2.625）0.1252.5625+

（2.5，2.5625）0.06252.53125+

（2.5，2，53125）0.031252.515625-

（2.515625，2.53125）0.0156252.5234375+

（2.515625，2.5234375）0.0078125

由于|2.5234375-2.515625|=0.0078125＜0.01，

所以原方程的最大根约为2.5234375．

（2）交点的横坐标即为方程1gx=的根，由图象可知两函数只有一个交点，

令f（x）=1gx-．因为f（1）=-1，f（2）≈-0.2＜0，f（3）≈0.14＞0，

于是可知，交点在（2，3）内．

区间中点f（中点）

（2，3）2.5-0.002

（2.5，3）2.750.04

（2.5，2.75）2.6250.02

（2.5，2.625）2.5625

（2.5，2.5625）

|2.5-2.5625|≈0.06＜0.1，

∴交点的横坐标为x≈2.5．;

【解析】

根据三次方程最多有个实根先分析三个实根的大体位置，结合零点存在定理分析出最大的实根在区间内，再由二分法，结合精确度得到最大根的估计值，令，即得方程，再令，用二分法求得交点的横坐标约为．

该题考查的知识点是二方法求函数的近似解，本题运算量大，必须借助计算器才能完成，熟练掌握二分法的步骤及零点存在定理，是解答的关键．

21.【答案】解：设函数y=lox，m=-x+b

根据2＜a＜3＜b＜4，

对于函数y=lox在x=2时，一定得到一个值小于1，

在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，

∴函数f（x）的零点∈（n，n+1）时，n=2．;

【解析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值

22.【答案】解：；；；；

填表如下：

区间中点的符号区间长度

，

原方程的近似解可取为;

【解析】此题主要考查了二分法求方程的近似解的过程，属于基础题．

由函数与在上都是增函数可知在上是单调递增的，求函数值，从而得到在区间内存在零点，利用二分法完成表格后下结论即可．

23.【答案】解：设f（x）=-6x+7，

∵f（1）=2＞0，f（2）=-1＜0，

∴方程-6x+7=0有一根在（1，2）内，设为，

∵f（1.5）=0.25＞0，∴1.5＜＜2，

又∵f（）=f（1.75）=-0.4375＜0，∴1.5＜＜1.75，

如此继续下