2.1-圆内接四边形的性质及判定定理-(人教A选修4-1)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第1页第2页1．圆内接四边形性质(1)圆内接四边形

．

如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋

＝180°，∠B＋

＝180°.(2)圆内接四边形外角等于它

．

对角互补∠C∠D内角对角第3页

如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD一外角，则有：∠CBE＝

.∠D2．圆内接四边形判定(1)判定定理：假如一个四边形

，那么这个四边形四个顶点共圆．(2)推论：假如四边形一个外角等于它内角

，那么这个四边形四个顶点

．对角互补对角共圆第4页[例1]如图所表示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于F、G.

求证：∠CFG＝∠DGF.[思绪点拨]已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.第5页[证实]因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ECF＝∠EAG.又因为EG平分∠BEC，即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC＝∠EGA.而∠DGF＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－∠EFC，所以∠CFG＝∠DGF.第6页

圆内接四边形性质即对角互补，一个外角等于其内角对角，可用来作为三角形相同条件，从而证实一些百分比式成立或证实一些等量关系．第7页1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C度数

比为4∶3∶5，求四边形各角度数．解：设∠A、∠B、∠C度数分别为4x、3x、5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.第8页2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC

相交于点E，点F是BD延长线上点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE长．

第9页第10页[例2]如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC中点，且AP⊥BC于P.

求证：E、D、P、F四点共圆．[思绪点拨]可先连接PF，结构四边形EDPF外角∠FPC，证实∠FPC＝∠C，再证实∠FPC＝∠FED即可．第11页第12页

证实四点共圆方法常有：①假如四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形一组对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆；③假如四边形一个外角等于它内对角，那么这个四边形四个顶点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所正确角相等且在公共边同侧，那么这两个三角形四个顶点共圆．第13页3．判断以下各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一外接圆；(2)正确，因为矩形对角线交点到各顶点距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形中心到各顶点距离相等．第14页4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点

F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．第15页证实：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.第16页[例3]如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1直径PE延长线交CD于点M.

求证：PM⊥CD.[思绪点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1直径，考虑连接AE或BE得90°圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．第17页[证实]

如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1直径，∴EA⊥PA.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.第18页

这类问题综合性强，知识点丰富，处理方法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形性质证实或求得一些结论成立．第19页第20页证实：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.第21页第22页6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上高，

DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．

求证：E、B、C、F四点共圆．