二次函数求最值方法总结6资料文档

二次函数求最值方法总结从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。1题目如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．解法1补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二

如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）解法2“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。根据上述方法，本题解答如下：解

如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－3/2，15/4）解法3切线法若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。解

如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．

=27/8解法4三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解

如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。二次函数的最值及其应用一、当自变量不受限制时二次函数求最值的方法有两种：1、公式法——代入抛物线的顶点坐标公式对于二次函数

（）

（1）若a>0，当

时，

最小

由于抛物线开口向上，此时无最大值（2）若a<0，当

时，

最大

由于抛物线开口向下，此时无最小值2、配方法——先配方，再利用非负数的性质先配方：

再利用非负数的性质：因为

，（当

时，

）所以，（1）若a>0，当

时，

最小

（2）若a<0，当

时，

最大

【注】两种方法同等重要，第一种方法过程较简单，结合了抛物线的顶点坐标，是几何法，体现了数形结合的思想；第二种方法是代数法，虽然步骤较麻烦，但却是处理最值问题的一种常见方法，以后用途非常之广。【例1】对于二次函数y=-2x²-4x+1，求其最值【解析】由于a=-2<0，抛物线开口向下，所以无最小值解法一：当

时，

最大²

解法二：配方得：y=-2(x+1)²+3因为-2(x+1)²≤0，(当x=-1时，-2(x+1)²=0)∴当x=-1时，

最大

二、当自变量有限制条件时此时，我们往往考虑三个方面：1、自变量的取值范围是什么？2、在取值范围内，顶点横坐标(对称轴)能否取到？3、结合对称轴，考虑二次函数增减性以及端点处离对称轴的水平距离【例2】(例1变式)对于二次函数y=-2x²-4x+1（1）当-3≤x≤0时，求其最值（2）当-5≤x≤-3时，求其最值【解析】（1）

，而-3≤-1≤0即当x=-1时，y仍有最大值：最大²

由于抛物线开口向下，最小值应在最低点取得，对于x=-3和x=0的两端点，谁离对称轴水平距离较远，谁为最低点。|-3-(-1)|=2，|0-(-1)|=1∴当x=-3时，y取得最小值：

最小²

（2）当x＜-1时，y随x的增大而增大，而给定的自变量取值范围-5≤x≤-3，包含其中，所以：①当x=-5时，

最小²

②当x=-3时，

最大²

【注】这里自变量的取值范围是直接给出的，是“显性”的，所以只需要考虑其他两个方面就行了【例3】（江苏南通）已知实数m，n满足m-n²=1，则代数式m²+2n²+4m-1的最小值=______【解析】令y=m²+2n²+4m-1由m-n²=1可得：n²=m-1，代入代数式可得y=m²+6m-3这样我们就建立了y关于m的二次函数。这里需要注意，自变量m的取值范围并不是全体实数，这是由于m=n²+1≥1y=m²+6m-3=(m+3)²-12当m>-3时，y随x的增大而增大所以，当m=1时，

最小²

【注】这里极易得到错误答案-12，这是因为这里自变量m的取值范围是隐藏的，是“隐性”的。这就需要我们警惕，在解决函数最值问题时，自变量的取值范围是要优先考虑的，只有确定了自变量的取值范围，其最值才能确定，这一点极其重要！【例4】（浙江嘉兴）当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)²+m²+1有最大值4，则实数m的值为（

）

或

或

或或

【解析】这里给出了顶点式，可得顶点坐标为(m,m²+1)，但是最大值一定在顶点处吗？由于对称轴x=m位置不定，所以要分类讨论：①若-2＜m＜1，当x=m时，

最大²

解得：

或

(与-2＜m＜1矛盾，故舍去)②若m≤-2，当-2≤x≤1时，y随x的增大而减小当x=-2时，y取得最大值

最大²²

解得：

(与m≤-2矛盾，故舍去)③当m≥1时，当-2≤x≤1时，y随x的增大而增大当x=1时，y取得最大值

最大²²

解得：

综上所述，

或

，故选C【注】与【例2】【例3】不同，这里对称轴的位置是不确定的，所以需要进行分类讨论三、练习题1、已知二次函数y=3x²+6x-3（1）求其最值（2）当-2≤x≤1时，求其最值（3）当0≤x≤3时，