第三节无穷小和无穷大

第三节无穷小和无穷大第1页，课件共22页，创作于2023年2月2.3.1

无穷小量

1.定义1

设

f(x)在某U◦(x0)内有定义.若

则称

f(x)为当x→x0时的无穷小量.例如：第2页，课件共22页，创作于2023年2月

(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.如sinx是x0时的无穷小量，但注(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;(3)关于有界量.第3页，课件共22页，创作于2023年2月2.无穷小量的运算性质时,有定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第4页，课件共22页，创作于2023年2月定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.有限个无穷小的乘积是无穷小.第5页，课件共22页，创作于2023年2月其中

为时的无穷小量.定理2.3.1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第6页，课件共22页，创作于2023年2月2.3.2、无穷大定义2

.若任给M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).第7页，课件共22页，创作于2023年2月注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!第8页，课件共22页，创作于2023年2月例.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:第9页，课件共22页，创作于2023年2月无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理2.3.2

在自变量的同一变化过程中,第10页，课件共22页，创作于2023年2月2.3.3无穷小量阶的比较都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.第11页，课件共22页，创作于2023年2月若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作定义2.3.3第12页，课件共22页，创作于2023年2月例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且第13页，课件共22页，创作于2023年2月例1.

证明:当时,～证:～第14页，课件共22页，创作于2023年2月～～命题2.3.2证:即即例如,～～故第15页，课件共22页，创作于2023年2月命题2.3.3设且存在,则证:例如,第16页，课件共22页，创作于2023年2月无穷小量的等价替换定理求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小量来代替

因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计算简化

定理3.12的意义:2.3.3第17页，课件共22页，创作于2023年2月～～～～～常用等价无穷小:第18页，课件共22页，创作于2023年2月无穷小量的等价替换定理的几何意义第19页，课件共22页，创作于2023年2月

解

当x

0时

tan2x~2x

sin5x~5x

所以第20页，课件共22页，创作于2023年2月

说明只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对