第三节正定二次型

第三节正定二次型第1页，课件共20页，创作于2023年2月前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,…,dn,n个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：该式称为二次型的规范形。r是矩阵A的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di>0的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di<0的个数相同。定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数一、惯性定理第2页，课件共20页，创作于2023年2月证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。假设二次型可以化成两个规范形(1)第3页，课件共20页，创作于2023年2月(2)由(1)(2)我们有：如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。(4)第4页，课件共20页，创作于2023年2月反证法，假设q不等于p，不妨假设p>q如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立问题：y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0？(4)方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+q<n个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于p>q造成的。同样，p<q亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。第5页，课件共20页，创作于2023年2月一个实二次型，既可以通过拉格朗日配方法化为标准形，也可以通过初等变换法化为标准形。显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．进而将标准形化为规范形，其规范形是唯一的。

项数为二次型的秩；其中系数为+1的项的项数为正惯性系数；其中系数为-1的项的项数为负惯性系数。第6页，课件共20页，创作于2023年2月第7页，课件共20页，创作于2023年2月为三元二次型，则它为正定二次型为二元二次型，则它为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如第8页，课件共20页，创作于2023年2月证明充分性故三、正(负)定二次型的判别第9页，课件共20页，创作于2023年2月必要性（反证法）故第10页，课件共20页，创作于2023年2月推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n推论2.实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位矩阵合同推论4.正定矩阵的行列式大于零证明：设A为正定矩阵，则CTAC=E,两端求行列式得：推论3.对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值

全为正第11页，课件共20页，创作于2023年2月这个定理称为霍尔维茨定理．定理2对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即第12页，课件共20页，创作于2023年2月正定矩阵具有以下一些简单性质第13页，课件共20页，创作于2023年2月例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第14页，课件共20页，创作于2023年2月例2

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，第15页，课件共20页，创作于2023年2月例3

判别二次型的正定性.解第16页，课件共20页，创作于2023年2月二次型正定性的判断方法一般的二次型的判断都可以利用它的标准型或者规范形完成。设二次型的标准型为：如果di>(<)0(i=1,2,…,n),那么二次型是正定(负定)的。如果di≥(≤)0(i=1,2,…,n),那么二次型是半正定(半负定)的。如果di中既有正数，又有负数，那么二次型是不定的。容易理解：1.能够判定半正定二次型；2.半负定二次型只要给二次型乘以“-1”，就是半正定二次型。当yi(i=1,2,…,r)不全为0时，二次型f>0,所以上述二次型半正定。特别地，当二次型的秩小于n第17页，课件共20页，创作于2023年2月2.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．

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