高一升高二衔接教材高二预科班数学课程二十讲(课件)：第十二讲-平面向量全章复习

必修四平面向量

总复习必修四平面向量

总复习知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的充要条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的充要条一、向量的概念注意：1）共线向量（平行向量）:方向相同或相反的非零向量2）零向量与任意向量共线一、本章注意问题一、向量的概念注意：1）共线向量（平行向量）:方向相同或相反三、向量的运算ABD（注意：）向量的减法2、坐标运算：1、作图三角形法则：a三、向量的运算ABD（注意：）向量的减法2、坐标运算：1、作1、平面非零向量数量积的定义：2、数量积是一个数，它的正负取决于夹角的余弦值(四)数量积3、零向量与任何向量的数量积为零1、平面非零向量数量积的定义：2、数量积是一个数，它的正负取2023/9/126（4）两个非零向量的数量积：

规定：零向量与任一向量的数量积为0a·b=|a||b|cosθ几何意义：数量积

a·b等于

a的长度

|a|与

b在a的方向上的投影

|b|cosθ的乘积。AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO2023/8/86（4）两个非零向量的数量积：a·b四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定)六、向量的长度七、向量的夹角向量表示坐标表示向量表示坐标表示四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定)六、向例1e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e2a与b是否共线。解：假设,a与b共线则

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

这样λ不存在。

∴a与b不共线。典型例题分析:例1e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e例2设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴例2设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b例3、已知a=(3,-2)

b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。例3、已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(解：设a=(x,y)

则x2+y2=100

-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8

a=(6,-8)或(-6,8)例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a例5、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+b|=____例5、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+解：9=9a2+4b2-12a·b∴a·b=

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=2解：9=9a2+4b2-12a·b解：∵∴同理可得

∴θ=120°解：∵∴同理可得∴θ=120°(1)K=19(1)K=19高一升高二衔接教材高二预科班数学课程二十讲(课件)：第十二讲-平面向量全章复习[解][答案]

C[解][答案]C高一升高二衔接教材高二预科班数学课程二十讲(课件)：第十二讲-平面向量全章复习[解][解][例10][例10][解析][解析]练习一、选择题：1、如图所示，G为ABC的重心，则GA+GB-GC等于（D）

A.0

B.GEC.4GD

D.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(A)A.λ>B.λ≥C.λ<D.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，则a和b的夹角θ是（A）

A.120。B.150。C.60。D.30。ABDCGFE练习ABDCGFE4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）

A.-6

B.6

C.3

D.-35、设点A(a,b),B(c,d)，若径平移得A(2a,2b)，那么B点之新坐标为（）

A.(2c,2d)B.(a+c,b+d)C.(a+2c,b+2d)D.(2a+c,2b+d)6、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，则a与b的夹角为（）

A.30。B.60。C.120。D.150。7.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则a·b=()A.10B.-10C.10D.104、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。，c=2a+8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为（）

A.30。B.-150。C.150。D.30。或150。9、若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比是（）

A.B.C.-D.-10、在△ABC中，三内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,已知c=3,∠C=60。,a+b=5，则cos的值是（）

A.B.C.D.8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0，S△AB11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则∠A=（）

A.30。

B.60。

C.120。

D.150。12、在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3b=asinB,cosB=cosC，则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则二、填空题：13、设a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若(a+b)⊥(a-b),那么m=____。14、单位向量e1,e2的夹角为60。，则(e1-2e2)·(-2e1+3e2)=______。15、在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_____。16、在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，则∠C=_______。二、填空题：三、解答题：17、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a与b的夹角α。解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。

∴e1e2=|e1||e2|cos60。=∴ab=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。三、解答题：20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=，且a与b的夹角为，试求a+2b与a-b的夹角θ的大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=3（2）a2=3b2=4|a|·|b|=222、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC22、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共线

∴5×(x+1)-5(y+2