湖北省孝感市重点中学2023-2024学年高一上学期9月调研考试数学试卷（Word版含答案）

第第页湖北省孝感市重点中学2023-2024学年高一上学期9月调研考试数学试卷（Word版含答案）孝感市重点中学2023-2024学年高一上学期9月调研考试

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

4．已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（）

A．或6B．6C．D．

5．“”是“不等式对任意的恒成立”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．关于实数的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

7．已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（）

A．B．

C．D．

8．已知，，，则的最小值为（）

A．4B．

C．D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A．B．

C．D．

10．下列结论正确的是（）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．“，有”的否定是“，使”

D．“是方程的实数根”的充要条件是“”

11．已知，，下列命题中正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

12．设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，米国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（）

A．B．

C．D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设集合，，已知且，则的取值集合为．

14．已知，则“”是“”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）．

15．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为．

16．若不等式对于任意正实数x、y成立，则k的取值范围为．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．设，解关于的不等式：．

18．已知非空集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．已知关于的一元二次方程.

（1）若方程有两个不等实数根，求的取值范围；

（2）若方程两根之差的绝对值为，试求的值；

（3）若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.

20．科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．

（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．

21．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．

（1）当时，写出集合A的生成集B；

（2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

22．（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；

（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：

若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；

（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值.孝感市重点中学2023-2024学年高一上学期9月调研考试

数学参考答案

题号123456789101112

答案CABCADCDADACDACDAC

13.14.充要15.3116.

7．C【详解】由题意可知方程的两根为，

即的两根为，则可转化为图象与有两个交点问题，两交点横坐标为，

当时，不妨设的图象如图示：

函数与抛物线的交点如图示，则；

当时，不妨设的图象如图示：

函数与抛物线的交点如图示，则；

综合上述，可知，

故选：C

8．D【详解】因为，，，

所以原式，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D.

11．ACD【详解】对于A，因为，所以，

因为，，所以，当且仅当时取等号，

所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以

，

当且仅当，即取等号，所以B错误，

对于C，由，，，由柯西不等式得

，

所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确，

对于D，由，得，

化简得，所以，因为，，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，所以，所以D正确，故选：ACD

12．AC【详解】对于A选项，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，故B错误；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D选项，当时，由C可知，，故D错误.故选：AC.

15．【详解】因为的整数解只能是36的约数，

当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；

当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；

当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；

当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；

当方程的解为，时，；

故集合

由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，

即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，

得这样的集合共有个，

故答案为：.

16．【详解】易知，，．

令，分式上下同除y，则，则即可，

令，则．可转化为：，

于是，．∴，即时，不等式恒成立（当时等号成立）．

故答案为：

17．【详解】解：由可得.

（1）当时，原不等式即为，解得；

（2）当时，解方程可得或.

①当时，，解原不等式可得或

②当时，则，解原不等式可得；

③当时，原不等式即为，解得；

④当时，，解原不等式可得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

18．(1)(2)

【详解】（1）当时，，，

则或,；

（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，

所以且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是.

19．(1)或；(2)或；(3)或.

【详解】（1）由题设，所以或.

（2）若方程两根为，则，且，，

所以，即，

所以或，经检验满足，故或.

（3）若，则，可得或.

20．（1）30万元，最大值200%；（2）.

【详解】（1）由已知，当时，．

当且仅当，即时，取等号；

当时，．

因为在上单调递减，所以．

因为，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%．

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，

由（1）可知，此时月研发经费．

于是，令，整理得，解得．

因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．

21．(1)；(2)4；(3)不存在，理由见解析.

【详解】（1）因为，所以，所以；

（2）设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于4个，

又，则，此时中元素个数等于4个，

所以生成集B中元素个数的最小值为4；

（3）不存在，理由如下：

假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集由组成，

又，所以，

若，又，则，故，

若，又，则，故，

所以，又，则，而，

所以不成立，

所以假设不成立，故不存在4个正整数构成