含参变量积分课件

第四节含参变量积分第四节含参变量积分1一、含参变量积分的连续性设函数在矩形上的连续函数.积分确定了一个定义在上的的函数称为含参变量积分。一、含参变量积分的连续性设函数在矩形2定理1如果函数在矩形上连续，那么由积分确定的函数在上也连续.

也是参变量的函数.同理要点是:积分号与极限号的互换.定理1如果函数在矩形3例1求例1求4由于在闭区域上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的,存在,使得对于内的任意两点及,只要它们之间的距离小于,即就有因为点与的距离等于,所以当时,就有于是由（1）式有定理1证设和是上的两点，则由于在闭区域上连续，从而5所以在上连续.定理得证注

既然函数在上连续,那么它在上的积分存在,这个积分可以写为右端积分式函数先对后对的二次积分.所以在上连续.6定理2如果函数在矩形上连续,则公式（2）也可写成要点是:积分号与积分号的互换.定理2如果函数在矩形上连续,则公式（2）7定理1’如果函数在矩形上连续，又函数与在区间上连续，则含参变量积分在也连续.定理1’如果函数在矩形上连续，又函数8当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，定理1’证设和是上的两点，则当时，上式右端最后一个积分的积9根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，所以函数在上连续.定理得证根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又其中10例2计算例2计算11定理3’如果函数及其偏导数都在则在上可微，并且矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且二、含参变量的函数的微分称为莱布尼茨公式.定理3’如果函数及其偏导数12下面先考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.定理3如果函数及其偏导数都在矩形上连续,那么由积分(1)确定的函数在上可微分,并且要点是:积分号与求导号的互换.下面先考虑由积分(*)确定的函数的微分问13例3例314例4例415证因为为了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的一致连续性，我们有证因为为了求，先利用公式(1)作出增量之16其中，可小于任意给定的正数，只要小于某个正数.因此这就是说综上所述有令取上式的极限，即得公式（5）.其中，可小于任17例5设求解3例5设求解318例6例619例7

求解这里函数在矩形上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有例7求解这里函数在矩形上20例8计算定积分考虑含参变量的积分所确定的函数显然，根据公式(5)得解例8计算定积分考虑含参变量的积21把被积函数分解为部分分式,得到于是把被积函数分解为部分分式,得到于是22上式在上对积分,得到即从而上式在上对积分,得到即从而231、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用.要点是:积分号与极限号,求导号,积分号的互换.1、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量24定理3’证由(4)式有当时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则定理3’证由(4)式有当25对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得其中在与之间.当时,对于(8)右端的第二项，