2023朝阳区高三一模文科数学试题及答案

2024朝阳区高三一模文科数学试题及答案北京市朝阳区高三班级第一次综合练习

数学学科测试（文史类）2024.4

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.（1）i为虚数单位，复数

1

1i

-的虚部是A．12B．12-C．1

i2

-D.1i2

（2）若集合{}

23Mxx=-；命题q：x?∈R，sincos2xx+=

.

则下列推断正确的是

A．p?是假命题

B．q是假命题

C．pq∨?是真命题

D．()pq?∧是真命题

（5）若直线yxm=+与圆2

2

420xyx+++=有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是

A．()

22,22-+B．()4,0-

C．()

22,22--

-+D.()0,4

（6）“3m≥”是“关于,xy的不等式组0,20,10,0

xxyxyxym≥??-≤?

?-+≥??+-≤?表示的平面区域为三角形”的

A．充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.4

B.22

C.

20

3

D.8

（

8

）

已知函数

*()

21,fxxx=+∈N.若

*

0,xn?∈N，使

00

()

(1

)()63fxfx

fxn++++

+=，则称0(,

)xn为函数()fx的一个“生成点”.函数()fx的“生成点”共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

其次部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）以双曲线2

213

xy-=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是.

（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S=.

开头

i=0

S=0S=S+2

i-1i≥6?输出S

结束

是i=i+2

否

2

2

2

2１

１１正视图

侧视图

俯视图

（11）在等比数列{}na中，32420aaa-=，则3a=，若{}nb为等差数列，且33ba=，

则数列{}nb的前5项和等于.

（12）在ABC?中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满意7sinbaB=，则

sinA=，

若60B=，则sinC=.

（13）函数)(xf是定义在R上的偶函数，且满意(2)()fxfx+=.当x∈时，

()2fxx=.若在区间-上方程()0axafx+-=恰有三个不相等的实数根，则

实数a的取值范围是.

（14）在平面直角坐标系xOy中，点A是半圆2

2

40xxy-+=（2≤x≤4）上的一个动

点，点C在线段OA的延长线上．当20OAOC?=时，则点C的纵坐标的取值范围是．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）

已知函数231()sinsin222

xfxxωω=

-+（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值及函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）当2

xπ∈时，求函数()fx的取值范围.

（16）（本小题满分13分）

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用

茎叶图表示如下：

空气质量指数

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

300以上

空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严峻污染

（Ⅰ）试依据上面的统计数

据，推断甲、

乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；

（Ⅱ）试依据上面的统计数据，估量甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的

概率．

(注：])()()[(1

222212

xxxxxxn

sn-++-+-=

，其中x为数据nxxx,,,21的平均数.)

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD-中，平面PAC⊥平面ABCD，且PAAC⊥，2PAAD==．

四边形ABCD满意BCAD，ABAD⊥，1ABBC==．E为侧棱PB

的中点，F为侧棱PC上的任意一点.（Ⅰ）若F为PC的中点，求证：EF

平面PAD；

（Ⅱ）求证：平面AFD⊥平面PAB；

（Ⅲ）是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数2

()(2)lnfxxaxax=-++，其中a∈R．

（Ⅰ）若曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线的斜率为1，求a的值；

（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.

（19）（本小题满分14分）

甲城市245

7

10

973

56

31588

乙城市

P

D

A

BC

F

E

已知椭圆()2222:10xyCabab

+=>>过点(2,0)A,离心率为3

2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点(1,0)B且斜率为k（0k≠）的直线l与椭圆C相交于,EF两点，直线AE，AF

分别交直线3x=于M，N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k'，求证:kk'?为定值.

（20）（本小题满分13分）

由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意挨次组成的没有重复数字的数组，记为

1210(,,

,)xxxτ=，设10

11

()|23|kkkSxxτ+==-∑，其中111xx=.

（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()Sτ的值；（Ⅱ）求证：()55Sτ≥；（Ⅲ）求()Sτ的最大值.

(注：对任意,ab∈R，ababab-≤±≤+都成立.)

北京市朝阳区高三班级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类）2024.4

一、选择题：题号（1）

（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案

A

CBD

DA

DB二、填空题：题号（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

答案

28yx=

202；10

17；1314

5,5-

（注：两空的填空，第一空3分，其次空2分）

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）31cos1()sin222

xfxxωω-=

-+(1)

分

31

sincos22

xxωω=

+sin()6

xωπ

=+

.……………………4分由于()fx最小正周期为π，所以2ω=.………………5分于是()sin(2)6

fxxπ

=+.

由222262kxkππππ-

≤+≤π+，k∈Z，得36

kxkπππ-≤≤π+.所以()fx的单调递增区间为，k∈Z.……………8分

（Ⅱ）由于2xπ∈，所以72666

xπππ

+∈，…………………10分

则1sin(2)126

xπ

-≤+≤.…………………12分

所以()fx在2π上的取值范围是.………13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分

（Ⅱ）依据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为

3

5

，则估量甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为

3

5

．………………6分,（Ⅲ）设大事A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质

量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：

（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.

其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），

（53，55），（53，58），（53，78）,（57，55），（57，58），（57，78），

（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.则11()25

PA=

.

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

1125

．…………………13分

（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由于,EF分别为侧棱,PBPC的中点，所以EFBC．由于BC

AD，所以EF

AD．

而EF?平面PAD，AD?平面PAD，所以EF

平面PAD．……………………4分（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面PAC，

平面ABCD

平面PACAC=，且PAAC⊥，PA?平面PAC.

所以PA⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PAAD⊥．又由于ABAD⊥，PAABA=，所以AD⊥平面PAB，

而AD?平面AFD，

所以平面AFD⊥平面PAB．……………………8分（Ⅲ）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直.

在棱PC上明显存在点F,使得AFPC⊥.由已知，ABAD⊥，BC

AD，1ABBC==，2AD=．

由平面几何学问可得CDAC⊥．

由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD，所以PACD⊥，由于PA

ACA=，所以CD⊥平面PAC．

而AF?平面PAC，所以CDAF⊥．又由于CD

PCC=,所以AF⊥平面PCD.

在PAC?中，2,2,90PAACPAC==

∠=?，

可求得，26

6,3

PCPF==

．可见直线AF与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为

26

3

．……………14分（18）（本小题满分13分）

PD

A

B

C

F

E

解：(Ⅰ)由2()(2)lnfxxaxax=-++可知，函数定义域为{}

0xx>，且()2(2)afxxax'=-++

.由题意，(2)4(2)12

a

fa'=-++=，解得2a=.……………4分

（Ⅱ）(2)(1)

()2(2)axaxfxxaxx

--'=-++

=

(0)x>.令()0fx'=，得11x=，22

a

x=.

（1）当0a≤时，02

a

≤，令()0fx'>，得1x>;令()0fx'，得02

a

x.则函数()fx的单调递增区间为(0,)2

a

，(1,)+∞.

令()0fx'，即2a>时，令()0fx'>，得01x，

则函数()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)2

a

+∞.

令()0fx'<，得12

a

x<<.

则函数()fx的单调递减区间为(1,)2

a

.……13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）依题得222,3,22.abccaa?=+?

?=??=??

解得24a=，21b=.所以椭圆C的方程为2

214

xy+=.…………………4分（Ⅱ）依据已知可设直线l的方程为(1)ykx=-.

由22

(1),440

ykxxy=-??

+-=?得2222

(41)8440kxkxk+-+-=.设1122(,),(,)ExyFxy,则2212122

2844

,4141

kkxxxxkk-+==++.直线AE，AF的方程分别为：12

12(2),(2)22

yyyxyxxx=-=---，令3x=，则1212(3,

),(3,)22yyMNxx--,所以12121(3,())222yy

Pxx+--.所以122112(1)(2)(1)(2)

4(2)(2)

kxxkxxkkkxx--+--'?=

?--21212121223()4

42()4kxxxxxxxx-++=