安徽省皖南地区数学一模试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年安徽省皖南地区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1．已知集合A=｛x｜0≤x≤5｝，B=｛x∈N＊｜x﹣1≤2｝，则A∩B=（）A．{x｜0≤x≤3｝ B．｛1,2,3｝ C．｛0,1，2，3} D．｛x|1≤x≤3}2．设sin（π﹣θ）=,则cos2θ=（）A． B． C． D．3．若z是复数，z=．则z•=（）A． B． C．1 D．4．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（,)B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程=0。2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0。2个单位D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小5．若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f（﹣x）=f（x），则称f(x）为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（）A．f（x)=cosx B．f（x）=sinx C．f(x）=x2﹣2x D．f（x)=x3﹣2x6．已知三个向量,，共面，且均为单位向量，•=0，则|+﹣｜的取值范围是（)A．［﹣1，+1］ B． C．[，］ D．［﹣1，1］7．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．648．已知函数f(x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列｛an｝是公差不为0的等差数列，且f（a50)=f(a51）,则｛an｝的前100项的和为()A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．09．已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A（，），其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ,则实数λ为（）A． B． C．2 D．310．已知x，y满足约束条件,且b=﹣2x﹣y，当b取得最大值时,直线2x+y+b=0被圆（x﹣1）2+(y﹣2）2=25截得的弦长为(）A．10 B．2 C．3 D．411．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(）A．①② B．①③ C．②④ D．①④12．已知函数f（x)=（e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（)A．（0,2) B．(0,） C．（0，e） D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分)13．已知命题p:∀n∈N，n2＜2n,则￢p为．14．程序框图如图,若输入S=1，k=1，则输出的S为．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心,满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S△、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）16．已知等比数列{an）满足an+1+an=3•2n﹣1，n∈N*，设数列｛an｝的前n项和为Sn,若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．(12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b,c,且=．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．18．(12分）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°,AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ)证明:BD⊥平面SAD；(Ⅱ）求点C到平面SAB的距离．19．（12分)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时）,如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表:停靠时间2.533.544。555。56轮船数量12121720151383（Ⅰ)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；(Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．20．（12分）已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点,M,N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ)求△MFN的面积的最小值;(Ⅱ）证明;E，O，D三点共线．21．（12分）已知函数f(x)=x2﹣x+alnx,a∈R．（Ⅰ）若函数f(x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ）当0＜α＜时，函数f（x）的两个极值点为x1,x2,且x1＜x2．证明：＞﹣﹣ln3．四、选修题22．(10分）在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2．(Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时,求直线l1的普通方程．五、选修题23．已知函数f（x）=｜2x+4|+|x﹣a｜．(Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值．（Ⅱ)当f（x）=|x+a+4｜时，求x的取值范围．

2017年安徽省皖南地区高考数学一模试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．已知集合A=｛x｜0≤x≤5｝，B=｛x∈N*｜x﹣1≤2｝,则A∩B=（）A．{x|0≤x≤3｝ B．{1，2,3} C．{0,1,2，3｝ D．｛x｜1≤x≤3｝【考点】1E:交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=｛x|0≤x≤5}，B={x∈N＊｜x﹣1≤2}={1，2，3｝，∴A∩B={1，2，3｝．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．设sin（π﹣θ）=，则cos2θ=()A． B． C． D．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得cos2θ的值．【解答】解：∵sin(π﹣θ）=sinθ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．若z是复数，z=．则z•=（)A． B． C．1 D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，然后代入z•计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z•=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．下列说法错误的是(）A．回归直线过样本点的中心(，）B．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D．对分类变量X与Y,随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小【考点】BS：相关系数．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心(,)，正确;B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0。2个单位，正确；D．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．综上可知:只有D不正确．故选：D．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．5．若定义在R上的函数f（x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(﹣x）=f（x），则称f（x）为类偶函数,则下列函数中为类偶函数的是（）A．f(x）=cosx B．f（x）=sinx C．f（x）=x2﹣2x D．f(x）=x3﹣2x【考点】3T：函数的值．【分析】根据题意,依次分析选项，分析其中f（﹣x）=f（x)的解的情况，即可判定其是否满足类偶函数的定义，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项:对于A，f(x）=cosx,f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx，即f(﹣x)=f（x）,在R上恒成立,不是类偶函数，不符合题意,对于B、f（x）=sinx，f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx，若f（﹣x）=f（x),即﹣sinx=sinx,解可得x=kπ,则f（﹣x）=f（x)在R上有无穷个解,不是类偶函数，不符合题意；对于C、f（x）=x2﹣2x，则f（﹣x)=x2+2x，若f（﹣x）=f（x)，则x2﹣2x=x2+2x，解可得x=0，即f（﹣x）=f（x）存在一解x=0,不是类偶函数，不符合题意;对于D：f（x)=x3﹣3x，由f（﹣x)=﹣x3+3x，令f（﹣x）﹣f（x)=2x3﹣6x=0，变形可得2x(x2﹣3）=0，当自变量x≠0时，存在两个x即x=±满足f（﹣x）=f（x）,是类偶函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的，关键是理解题干中“类偶函数”的定义．6．已知三个向量,，共面,且均为单位向量，•=0，则|+﹣｜的取值范围是(）A．［﹣1,+1］ B． C．［，］ D．[﹣1,1]【考点】9R:平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=(1，0），=(0，1），=(x,y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量,，共面,且均为单位向量，•=0,可设=(1，0），=(0，1），=(x,y），则+﹣=(1﹣x，1﹣y），|｜==1;∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离,其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1,∴|+﹣｜的取值范围是［﹣1，+1］．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．7．某几何体的三视图如图所示(在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知:该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示;根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题．8．已知函数f（x)的图象关于x=﹣1对称，且f(x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列｛an｝是公差不为0的等差数列,且f(a50）=f（a51），则{an｝的前100项的和为()A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式,计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列｛an｝是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f(a51），可得a50+a51=﹣2，又{an}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则｛an}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质,以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）过点A(，),其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为（）A． B． C．2 D．3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的方程，可得直线AB的方程,再联立，求出M的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解:∵抛物线y2=2px（p＞0）过点A（，），∴p=2，∴抛物线y2=4x，∵准线与x轴交于点B,∴B（﹣1，0）,∴直线AB的方程为y=（x+1），代入y2=4x,整理可得2x2﹣5x+2=0，∴x=2或，∵=λ，∴λ==2,故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系的运用,属于中档题．10．已知x，y满足约束条件，且b=﹣2x﹣y，当b取得最大值时，直线2x+y+b=0被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦长为（）A．10 B．2 C．3 D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出b，然后利用直线与圆的位置关系求解弦长即可．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由b=﹣2x﹣y,得y=﹣2x﹣b，由图可知，当直线y=﹣2x﹣b过B（﹣2，﹣2)时直线在y轴上截距最小，b最大为2×2+2=6，圆（x﹣1)2+(y﹣2)2=25的圆心(1，2），半径为5，圆心到直线2x+y+6=0的距离为：=2,直线被圆（x﹣1)2+（y﹣2)2=25截得的弦长：2=2．故选:B．【点评】本题考查了简单的线性规划，直线与圆的位置关系的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异"．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等,现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（)A．①② B．①③ C．②④ D．①④【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】解:在①和④中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，∴①④这两个几何体的体积一定相等．故选：D．【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，2) B．（0,) C．(0，e） D．（0,+∞)【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导函数，求出函数的最小值,根据函数的零点和最值关系即可得到结论．【解答】解：f（x）=0,即=0，∵x≠0，∴k=,令g（x）=,则g′(x)=，令g′（x)=0，解得x=1,当x＞2或x＜0时,g′（x）＞0,函数g（x）单调递增，当0＜x＜2时，g′(x）＜0,函数g（x）单调递增，∴当x=2时,函数有极小值，即g（2）=,且当x＜0，时,f（x)∈（0，+∞），∵函数f（x)=（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，∴0＜k＜，故选:B【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题p：∀n∈N，n2＜2n，则￢p为∃n0∈N，n02≥．【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：￢p:∃n0∈N，n02≥,故答案为：∃n0∈N，n02≥【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．14．程序框图如图,若输入S=1，k=1，则输出的S为26．【考点】EF：程序框图．【分析】输入S，k的值,进入循环体，求出满足条件的S的值即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得：输入S=1，k=1，则k=2＜5，S=4，执行循环体，k=3＜5，S=11，执行循环体,k=4＜5，S=26，执行循环体，k=5≥5，退出循环体，输出S=26，故答案为：26．【点评】题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答,属于基础题．15．已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S=S△+λS若该双曲线的离心率为3，则λ=（注：S、S△、S分别为△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设△PF1F2的内切圆的半径r,运用三角形的面积公式和双曲线的定义，以及离心率公式，化简整理即可得到所求值．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径r，由满足S=S△+λS,可得r•｜PF1|=r•｜PF2｜+λ•r•｜F2F1|，即为|PF1｜=｜PF2|+λ•|F2F1｜,即为｜PF1｜﹣｜PF2|=λ•｜F2F1|，由点P为双曲线右支上一点，由定义可得2a=λ•2c，即a=λc,由e===3，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，注意运用定义法解题，以及离心率公式，考查运算能力,属于中档题．16．已知等比数列｛an)满足an+1+an=3•2n﹣1,n∈N＊,设数列｛an}的前n项和为Sn,若不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N*恒成立,则实数k的取值范围为（﹣∞，）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】根据等比数列的定义推知公比q=2，然后由等比数列的通项公式得到an=3•2n﹣1，n∈N＊．进而根据等比数列的前n项和公式求得Sn===3（2n﹣1）；最后由不等式的性质和函数的单调性来求k的取值范围即可．【解答】解：设等比数列{an｝的公比为q,∵an+1+an=9•2n﹣1，n∈N*，∴a2+a1=9，a3+a2=18，∴q===2，∴2a1+a1=9,∴a1=3．∴an=3•2n﹣1，n∈N＊．则Sn===3（2n﹣1），∴3（2n﹣1）＞k•3•2n﹣1﹣2,∴k＜2﹣．令f（n)=2﹣，则f（n)随n的增大而增大,∴f（n）min=f（1)=2﹣=，∴k＜．∴实数k的取值范围为(﹣∞，）．故答案是：（﹣∞，）．【点评】本题考查了数列与不等式的综合．根据已知等式an+1+an=3•2n﹣1和等比数列的定义以及等比数列的前n项和公式推知an=3•2n﹣1，n∈N*．Sn=3（2n﹣1）是解题的关键，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题,共70分）17．（12分)(2017•安徽一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．【考点】HR:余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ)结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中,=,∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0,π)，∴B=；(Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；又线段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2•c•2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac;又c2+4a2≥2c•2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．18．（12分)（2017•安徽一模)在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．(Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求点C到平面SAB的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明:AD⊥BD，SA⊥BD，即可证明BD⊥平面SAD;（Ⅱ）利用等体积方法，求点C到平面SAB的距离．【解答】（Ⅰ）证明:△ADB中，由余弦定理可得BD=2，∴BD2+AD2=AB2，∴AD⊥BD．取SD的中点E,连接DE，BE，则DE⊥SA，BE⊥SA，∵DE∩BE=E,∴SA⊥平面BDE，∴SA⊥BD，∵SA∩AD=A，∴BD⊥平面SAD;（Ⅱ)解:点C到平面SAB的距离=点D到平面SAB的距离h．△SAD中,SAD=30°,AD=SD=2，∴S△SAD==3，△SAB中,BA=BS=4，SA=6，∴S△SAB==3,由等体积可得，∴h=．【点评】本题考查线面垂直的殴打，考查点面距离，考查体积的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•安徽一模）某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推,统计结果如表：停靠时间2。533.544.555。56轮船数量12121720151383（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值;（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时,且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．【考点】CF:几何概型．【分析】(Ⅰ）根据平均数的定义即可求出，（Ⅱ)设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．【解答】解：（Ⅰ）a=(2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5。5×8+6×3）=4，（Ⅱ）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待,则｜y﹣x｜＜4，所以必须等待的概率为P=1﹣=，答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为．【点评】本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率．20．（12分）（2017•安徽一模)已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F,O为原点，M，N是y轴上的两个动点,且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明;E，O，D三点共线．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】(I）F（1，0),设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0,化为：t1t2=﹣1．S△MFN=,利用基本不等式的性质即可得出．（II)A（﹣，0)．设M（0,t)，由（1)可得：N（0,﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得kOE，kOD．只要证明kOE=kOD．即可得出E，O，D三点共线．【解答】（I）解：F（1，0），设M(0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．∴△MFN的面积的最小值为1．（II）证明:A（﹣，0）．设M（0,t)，由（1)可得：N（0，﹣)，（t≠±1)．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t,y=x﹣．联立，化为：（1+t2）x2+2t2x+2t2﹣2=0，∴﹣xE=，可得xE=，yE=×+t=,可得kOE=．联立，化为：（1+t2)x2+2x+2﹣2t2=0，可得:xD=,解得xD=，yD=×﹣=,可得kOD=．∴kOE=kOD．∴E，O，D三点共线．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率与三点共线关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．(12分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）=x2﹣x+alnx，a∈R．(Ⅰ)若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ）当0＜α＜时,函数f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1＜x2．证明：＞﹣﹣ln3．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】(Ⅰ）求导，由题意可知：数f（x）（0，+∞）上的单调函数，则二次函数x2﹣x+a≥0恒成立,则需要△=1﹣4a≤0，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由函数由极值，利用韦达定理求得,化简,构造辅助函数,求导,根据函数的单调性求得的最值，即可证明＞﹣﹣ln3．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣x+alnx，（0，+∞），求导f′（x）=x﹣1+=,x＞0，当△=1﹣4a≤0时,即a≥，则x2﹣x+a≥0恒成立，则f(x）在（0，+∞)上单调递增函数,当△=1﹣4a＞0时，即a＜则，两个实根x1=，x2=,∴当x∈（，x2），f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（x2，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，∴函数f（x）为定义域上的不是单调函数，综上可知：实数a的取值范围［,+∞)；（Ⅱ）由函数f（x)有两个极值点,则f′（x)=0，在x＞0有两个不等的实根,则x2﹣x+a=0有两个不相等的实根x1，x2,则△=1﹣4a＞0时，即a＜则,且，由0＜α＜，则0＜x1(1﹣x1)＜,解得：x1∈（0，），则===+x1lnx1，由x∈（0，）,令g(x）=+xlnx,h（x)=，m（x）=xlnx，求导h′(x）=﹣﹣＜0，m′(x）=1+lnx，x∈(0,），m′（x）＜0，而＜，故m′（x）＜0，x∈（0，）上恒成立，∴g′(x）=h′（x）+m′（x）＜0，在x∈（0,）,恒成立，g（x）在（0，）上单调递减，∴g（x）＞g（