圆的对称性二市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

本课内容：圆轴对称性与垂径定理第1页MOACBN垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确两条弧。垂径定理：如图，

MN是圆O直径，

AB是一条弦，且MN⊥AB，利用圆对称性，你能找出有哪些相等量？（1）AC=BC（2）AN=BN，AM=BM⌒⌒⌒⌒第2页MOACBN①直线MN过圆心O②MN⊥AB③AC=BC④AM=BM⑤AN=BN垂径定理：⌒⌒⌒⌒第3页垂径定理三种语言：定理:

垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所正确两条弧.老师提醒:垂径定理是圆中一个主要结论,三种语言要相互转化,数形结合,形成整体,才能利用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.文字语言图形语言几何语言第4页练一练：试金石第5页讲解

如图，已知在⊙O中，弦AB长为8厘米，圆心O到AB距离为3厘米，求⊙O半径。E.ABO解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，依据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O半径为5厘米。解题小结：在处理相关弦问题时，常作垂直于弦半径，连接圆心和弦一端点（即得半径），组成直角三角形。半弦半径弦心距半弦2+弦心距2=半径2第6页已知：如图，在以O为圆心两个同心圆中，大圆弦AB交小圆于C，D两点。试说明：AC＝BD。证实：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO牛刀小试第7页例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大管道？解：过点O作OC⊥AB,垂足为点C,交⊙O与点D，连接OA。CD⊙试一试第8页

假如交换垂径定理题设和结论部分语句，会有一些什么样结论呢？①直线MN过圆心O②MN⊥AB③AC=BC④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN垂径定理：第9页MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN探索一：结论：二、垂径定理推论第10页OABMN一个圆任意两条直径总是相互平分，不过它们不一定相互垂直。所以这里弦假如是直径，结论就不一定成立。推论1. (1)平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧。CD第11页MOACBN②MN⊥AB③AC=BC①直线MN过圆心O④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN探索二：第12页推论1:

(2)弦垂直平分线经过圆心,而且平分弦所正确两条弧;第13页MOACBN②MN⊥AB

③

AC=BC

④弧AM=弧BM①直线MN过圆心O⑤弧AN=弧BN探索三：第14页推论1:

(3)平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦,而且平分弦所正确另一条弧。第15页推论1:

(1)平分弦（不是直径）直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧；

(2)弦垂直平分线经过圆心,而且平分弦所正确两条弧;.

(3)平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦,而且平分弦所正确另一条弧。第16页你能够写出对应命题吗?垂径定理及其推论可概括成以下结论如图,在以下五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第17页推论2.

圆两条平行弦所夹弧相等。第18页推论2. 圆两条平行弦所夹弧相等。MOABNCD作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD ∴直径MN也垂直于弦CD于是弧AM＝弧BM， 弧CM＝弧DM∴弧AM－弧CM＝弧BM－弧DM即 弧AC＝弧BD第19页CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB中点。求作：弧AB中点第20页CDABEFG变式一：求弧AB四等分点。

mn第21页CDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦垂直平分线。●作AB垂直平分线CD。●作AT．BT垂直平分线EF．GH第22页CABE变式二：你能确定弧AB圆心吗？mnDCABEmnO第23页第24页你能破镜重圆吗？ABACmn·O

作弦AB．AC及它们垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。第25页破镜重圆ABCmn·O弦垂直平分线经过圆心,而且平分弦所正确两条弧。

作图依据：第26页

已知：AB、CD是⊙O两条平行弦，MN是AB垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。

MOANCDB

圆内平行弦垂直平分线是相互重合。第27页

已知：AB、CD是⊙O两条平行弦，MN是AB垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。

MOABNCD分析：MN是AB垂直平分线则有：MN过圆心O是直径由AB∥CD，MN⊥AB则有：MN⊥CD由垂径定理，得MN平分CD所以：MN垂直平分CD第28页MOBNCD证实：

∵MN是AB垂直平分线∴MN过圆心是直径∴MN⊥CD∴

MN平分CDA∵AB∥CD，MN⊥AB∴MN垂直平分CD第29页

MOABNCD证实：

由AB∥CD可得：弧AC=弧BDMN是AB垂直平分线则有：MN过圆心O是直径弧AM=弧BM∴MN垂直平分CD∴

弧AM－弧AC＝弧BM－弧BD即弧CM＝弧DM第30页挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所对两条弧.（）⑵平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另一条弧.（）⑶经过弦中点直径一定垂直于弦.（）⑷圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行.⑸弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.（）第31页

例3已知⊙O直径是50cm，⊙O两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求弦AB与CD之间距离。

.AEBOCD20152525247讲解.AEBOCDFEF有两解：15+7=22cm15-7=8cm第32页练习一如图，⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上动点，则线段OM长最小值为____.最大值为________.

35第33页练习二如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F，DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm5第34页练习三如图，在圆O中，已知AC=BD，试说明：（1）OC=OD（2）AE=BF︵︵第35页课堂小结：

本节课探索发觉了垂径定理推论1和推论2,而且利用推论1等分弧。●要分清推论1题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论.这是正确了解应用推论1关键;●例3是基本几何作图,会经过作弧所夹弦垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想在这里利用.第36页回味引伸垂径定理及其推论1实质是把(1)直线MN过圆