唯一性定理与静电屏蔽课件

唯一性定理与静电屏蔽静电屏蔽问题：要把它的原理真正说透，需要用到唯一性定理.唯一性定理与静电屏蔽静电屏蔽问题：1(a)壳外面有若干正、负带电体，腔内无带电体。壳外电场对壳内电场没影响.(b)将带电体放入腔内，而壳外无带电体，外部空间壳内电场对壳外电场没影响.

导体壳接地.(c)将(a)、(b)合并在一起。问题：(c)这时壳内、外电场的平衡分布是否各与图(a)、(b)一样？答案是肯定的，这是可能的。(a)壳外面有若干正、负带电体，腔内无带电体。2（1）、当壳外部电荷和电场分布的环境如(a)时，它在腔内不产生电场，从而腔内的带电体所处的环境如(b)一样。（2）、当内部电荷和电场分布如(b)时，它在壳外不产生电场，从而壳外带电体处的环境如(a)一样。当壳内、外带电体同时存在时，若壳内、外的电荷和电场分部分别与(a)、(b)相同的分布，是可以达到静电屏蔽的。（1）、当壳外部电荷和电场分布的环境如3问题：空腔内、外带电体在相互影响下，是

否达到另一种与此不同的平衡分布？唯一性定理将告诉我们，这是不可能的。由高斯定理：问题：空腔内、外带电体在相互影响下，是

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泊松方程

5如果知道电荷分布，可以解Poisson方程，求电势——》电场强度E。但还不够，因为Poissoneq.没有包括边界条件。边界条件：各导体的大小、位置、形状、电势、电荷、空间边界面上的电势。如果知道电荷分布，可以解Poisson方程，6实际中的静电学问题是:大多不是已知电荷分布求电场分布.而是通过一定的电极来控制(各带电导体的形状,大小,导体之间的相对位置

各导体的电势或各导体上的电量)

实现某种所要求的空间电场分布.前提是:给定各带电导体的几何形状,相互位置外.每个导体的电势ui每个导体上的总电量Qi实际中的静电学问题是:大多不是已知电荷分布求电场分布.而7如果知道电荷分布，可以解Poissoneq.求UE,但不能确定具体的电场分布，必须附加一些条件(如开始电场状态－初值问题、或在边界上受到外界的约束－边界问题）后，就能完全确定具体电场分布。

边界条件是很重要的方法：分析实际问题，引入试探性解到Poissoneq.+边界条件。如果都满足，则：试探解就是方程的解。但是否唯一？如果知道电荷分布，可以解Poissoneq.8物理上：

要确定给定区域各点的电场强，除知道电荷分布，还必须知道区域的边界面的各点电势值。

电势可以反映区域外部的电荷分布对区域各点电场的贡献.物理上：

要确定给定区域各点的电场强，除知道电荷分9二、唯一性定理的表述

假设所研究空间V,界面S,V内有若干导体，如A,B,导体A的表面为S1,导体B的表面为S2,如果V是整个空间，边界S在无穷远，把除了导体A,B之外的空间为V’,V’的边界包括S,S1,S2……。为了唯一的确定空间的电场分布，除了知道电荷分布外，还需要知道其它条件：二、唯一性定理的表述假设所研究空间V10（1）边界面上的电势和各导体上的电势。（2）边界面上的电势和各导体上的带电量给定。由条件，将分为两类问题来考虑：（1）对于第一类问题，唯一性定理表述如下：设V’内有给定的电荷分布，并在边界S,Si都有给定的电势，和或者给定，V’电场被唯一的确定。（1）边界面上的电势和各导体上的电势。11对于第二类问题，唯一性定理表述如下：

设V’空间内的电荷分布给定，并给定边界S上的电势或，以及每个导体上所带电荷量Qi,则V’内的电场被唯一地确定了。对于第二类问题，唯一性定理表述如下：12三、数学准备三、数学准备13

格林第一定理

14格林第二定理唯一性定理与静电屏蔽课件15四、证明唯一性定理用反证法假设满足同样条件地有两个解、

令

如果：

则四、证明唯一性定理用反证法16要证明：

即证明有两种解是不可能的。

要证明：17第一类问题的证明

设：都是方程的解(1)它们满足Poissoneq.

那么：第一类问题的证明设：18再看边界条件：（2）它们都必须满足边界条件：

在S上：

在Si上：再看边界条件：19或在S面上：所以，u’满足：方程

边界条件或在S面上：20或要证明：利用格林定理，令：或21唯一性定理与静电屏蔽课件22

所以u’是常数。

进一步利用边界条件：即在S,Si处u’=0所以u’处处等于零，即：

在满足边界条件下，只有一个解！

所以u’是常数。23第二类问题的证明：证明：假设有两个解u1,u2

设：U’=u1-u2

(1)它们满足Poissoneq.

第二类问题的证明：证明：假设有两个解u1,u224(2).导体上的电量给定：（3）u1,u2满足边界条件：

(2).导体上的电量给定：25OrOr26(4).静电平衡，导体是个等势体，应用格林定理：(4).静电平衡，导体是个等势体，27所以：结合边界条件：

只有一个解。所以：28五、用唯一性定理解释静电屏蔽空腔导体内有导体A,B,空腔外有导体C,D.分别带电qA,qB,qc,qD空腔外表面为S1,内表面S2V1指壳外空间，壳外V1的边界为S1因接地，有V2指壳内空间，五、用唯一性定理解释静电屏蔽空腔导体内有导体A,B,空29导体C,Dqc,qD给定，或给定.

在这些情况下，壳外：V1的电场分布是唯一确定，壳内状态对V1的场没有影响。

壳内：V2的边界S2,qA,qB已给定，或者，uA,uB给定，V2内的电场被唯一确定了，V2之外V1的状态对V2没有影响。导体C,D30例题1：一个点电荷＋q旁边有一无限大导体平板(接地），试求，静电平蔽时平板上的电荷分布。

分析：由于静电感应，在导体平板表面右侧，将有一定的负电荷分布，由于导体平板的屏蔽作用，导体左方的半无穷大空间不会有电场存在，也不会有感应电荷分布。

方法：为了计算导体平板右侧空间各点的电场强度和表面各点的感应电荷密度，在左侧与＋q相对称的位置放置一等量异号的点电荷（假想），并将平板拿掉。例题1：一个点电荷＋q旁边有一无限大导体平板(接地），试求31唯一性定理与静电屏蔽课件32

+q点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表面将有感应电荷，感应电荷的分布比较复杂，导体外侧的电场由点电荷和感应电荷共同产生，所产生的场在边界上满足U|s=0。

我们可以把感应电荷的贡献用一虚拟（镜像）电荷来替代，问题是要找出该镜像电荷的位置和数值。根据唯一性定理，所得到的解将是唯一正确的解。1.点电荷对无限大接地导体的镜像+q点电荷位于一无限大接地导体的前面，距离为d，则在导体表33镜像的电荷：q’=-q，镜像的位置：-d由q和q’组成的系统正好满足边界条件，即：镜像的电荷：q’=-q，34此题中:区域中只有一个点电荷+q,在边界上处处u|s=0根据唯一性定理,给定这两个条件,区域内的电场分布就唯一地确定了.

不论区域外存在的是导体平板上的感应电荷分布还是别的电荷分布,只要它们与区域内的点电荷+q一起,使边界上电势处处u|s=0.此题中:区域中只有一个点电荷+q,35x>0区域的电势为：x>0区域的电场强度为：x>0区域的电势为：x>0区域的电场强度为：36导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的总感应电荷为：导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的37点电荷所受的力

需计算q所在处由感应电荷所产生的电场强度：X=d,y=0,z=0处：点电荷所受的力

需计算q所在处由感应电荷所产生的电38电像法（镜像法）1、区域中电场：形式上：自由电荷产生的场＋假想中电像电荷产生的场。

实质上：自由电荷产生的场＋导体上感应电荷产生的场。2、假想电荷的位置必须位于所考虑的区域V之外。电像法（镜像法）1、区域中电场：39以上例题中：区域中只有一个点电荷+q，而在边界上U|s=0,根据唯一性定理，给定这两个条件，区域内的电场分布也就唯一地确定了。因此，不论在这区域外存在的是导体上的感应电荷还是别的电荷分布，只要它于区域内点电荷+q一起使边界面上U|s=0。像电荷与导体上的感应电荷分布在区域内产生的电场必然完全相同，处于对称位置的等量异号－q与+q在一起所产生的电场，在所考虑的区域边界面上U|s=0。以上例题中：区域中只有一个点电荷+q，而在边界上U|s=040唯一性定理与静电屏蔽课件41例题:有一半径a的导体球壳接地,球外一个电量为q

与球心的距离为d,求:球外任意一点p处的电势,空间的电场分布.唯一性定理与静电屏蔽课件42球面上：U|s=0，设置镜像电荷q’,位置d’<a,边界条件要求：U|r=a=0上式对任意的都成立，可改写为：球面上：U|s=0，设置镜像电荷q’,位置d’<a,边界43唯一性定理与静电屏蔽课件44唯一性定理与静电屏蔽课件45唯一性定理与静电屏蔽课件46像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d球上另有一均匀分布电荷，Q-q’。这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。像电荷：q’=-(a/d)q，位置为：x=a2/d47唯一性定理与静电屏蔽课件48唯一性定理与静电屏蔽课件49唯一性定理与静电屏蔽课件50点电荷对无限大介质平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像51唯一性定理与静电屏蔽课件52唯一性定理与静电屏蔽课件53唯一性定理与静电屏蔽课件54第二章小结1、静电场中的导体：(1)静电平衡条件,导体内电场处处为零E导体内=0（2）导体处于静电平衡时