2微分方程模型(人口模型)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

5.3.1人口增加模型第1页微分方程模型实例1——人口模型5.3.1.1马尔萨斯(Malthus)模型Malthus(1766-1834),英国经济学家和人口统计学家，依据百余年统计资料，在1798年提出了闻名于世人口指数增加模型，即Malthus人口模型.人口以几何级数增加！考虑一个国家或地域人口总数随时间改变情况，记x(t)为t时刻该国家或地域人口总数，对一个国家而言，迁入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口改变影响，即人口改变仅与出生率和死亡率相关。模型假设假设人口出生率与死亡率之差与总人口成正比(即单位时间内人口增量与人口总数成正比)，记为B-D=rx(t).百分比常数r称为自然增加率，它能够经过人口统计数据得到(即为常数).模型建立第2页微分方程模型实例1——人口模型模型分析人口将按指数规律无限增加！人口将一直保持不变！人口将按指数规律降低直至绝灭！模型求解用马尔萨斯(Malthus)模型预计我国人口改变情况。为了方便对比，取1982年人口普查时得到人口总数为初始值，即x0=10.1541亿，自然增加率r=1.4%，t0=1982，用公式预计后各年我国总人口改变，其结果如后表从表能够看到，在1983年到1990年8年中，用马尔萨斯(Malthus)模型相对误差均在2％以下，这表明此模型比较准确预测了短期内人口改变规律。第3页微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测美国人口第4页微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测美国人口误差分析第5页微分方程模型实例1——人口模型Malthus模型预测优缺点优点：短期预报比较准确缺点：不适合中长久预报原因：

该模型中关键假设是自然增加率仅与人口出生率和死亡率相关，且是常数。这一假设使模型简单实用，但这一假设也造成了人口无限制增加，显然用该模型来作长久人口预测是不合理，需要改进。没有考虑环境对人口增加制约作用。第6页微分方程模型实例1——人口模型5.3.1.2

洛杰斯蒂克(Logistic)模型提出背景人们发觉在人口比较稀少，资源较丰富条件下，人口增加较快，能够在短期内维持常数增加率；但当人口数量发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通拥挤等，这又造成人口增加率降低，这种现象在一些动物种群试验中也观察到。在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境原因所能容纳最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。

第7页微分方程模型实例1——人口模型5.3.1.2

洛杰斯蒂克(Logistic)模型模型假设模型建立人口增加洛杰斯蒂克(Logistic)模型：

第8页微分方程模型实例1——人口模型模型分析模型求解第9页微分方程模型实例1——人口模型人口增加率到达最大值第10页微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测美国人口第11页微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测优缺点优点

其用途十分广泛，除了用于预测人口增加之外，也可完全类似地用于虫口增加、疾病传输、谣言传输、技术革新推广、销售预测等。中期预报比较准确。缺点理论上很好，实用性不强原因

预报时假设固有些人口增加率r以及最大人口容量K为定值。实际上这两个参数（尤其是K）极难确定，而且会伴随社会发展情况改变而改变。前面图中曲线末端分叉就是因为这个原因。第12页微分方程模型实例1——人口模型Logistic模型预测美国人口误差分析第13页微分方程模型实例1——人口模型中国人口预测结果年份马尔萨斯模型预测值/亿洛杰斯蒂模型预测值/亿实际统计值预测值/亿198210.154110.154110.1541198310.297210.256410.2495198410.442410.359410.3475198510.589610.463110.4532198610.738910.567310.5721198710.890310.672110.7240198811.043910.777510.8978198911.119610.883511.0676199011.357510.990111.336813.064212.087115.027413.235717.285614.4276203019.883215.6529204022.871116.9009205026.308118.1595第14页微分方程模型实例1——人口模型补充：从另一个角度导出