北师大版八年级下册数学三角形的证明角平分线市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

1.4角平分线(1)第1页

一学习新知第2页

你能利用折纸方法得到角平分线及角平分线上点性质吗?

你还记得角平分线上点有什么性质吗?

角平分线上点到这个角两边距离相等.

你能证实这一结论吗?

结合我们前面学习定理证实方法，你能写出这个性质证实过程吗？第3页

已知:如图,OC是∠AOB平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.

求证:PD=PE.

分析:要证实PD=PE,只要证实它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE条件由已知易知它满足公理(AAS).故结论可证.老师期望:你能写出规范证实过程.CB1A2PDEO第4页

证实：∵OC是∠AOB平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE第5页几何语言表示：定理

角平分线上点到这个角两边距离相等.老师提醒:这个结论是经惯用来证实两条线段相等依据之一.如图,∵OC是∠AOB平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上点到这个角两边距离相等).CB1A2PDEO第6页′思索分析

你能写出“定理角平分线上点到这个角两边距离相等”逆命题吗?

逆命题

在一个角内部,且到角两边距离相等点,在这个角平分线上.

它是真命题吗?假如是.请你证实它.第7页已知:如图所表示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB平分线上.分析:要证实点P在∠AOB平分线上,能够先作出过点P射线OC,然后证实∠POD=∠POE.BACDEOP第8页证实：∵PD⊥OAPE⊥OB

∴△POD和△BPOE都是Rt△

∵PD=PE,OP=OP

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)

∴∠POD=∠POE

∴OC是∠AOB平分线第9页

逆定理在一个角内部,且到角两边距离相等点,在这个角平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB平分线上.(在一个角内部,且到角两边距离相等点,在这个角平分线上).老师提醒:这个结论又是经惯用来证实点在直线上(或直线经过某一点)依据之一.CB1A2PDEO第10页例题讲析例1如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE长.解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC（在一个角内部，到角两边距离相等点在这个角平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所正确直角边等于斜边二分之一）.第11页

二挑战自我第12页1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证实它.EDABCF第13页

2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m.在图上标出它位置(百分比尺1:20000).A区第14页3.如图,求作一点P,使PC=PD,而且点P到∠AOB两边距离相等.C●D●ABO第15页4.已知:如图,在△ABC中,AD是它角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

求证:EB=FC.BAEDCF第16页证实:∵AD是△ABC角平分线且DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∵BD=CD

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)

∴EB=EC第17页5.如图,在△ABC中,已知

AC=BC,∠C=900,AD是△ABC角平线,DE⊥AB,垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.(1)假如CD=4cm,求AC长;(2)求证:AB=AC+CD.EDABC第18页解（1）

∵AD是△ABC角平线,DE⊥AB,

DC⊥AC,∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°∴∠B=45°∴∠BDE=90°-

45°=45°∴BE=DE

在等腰直角三角形BDE中第19页

（2）证实：由（1）求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD第20页

四深入探索第21页已知，如图⊿ABC中，∠ACB平分线交AB于E，∠ACB补角∠ACD平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为何？ABCDEFG第22页证实：∵EG为∠ACB平分线∴∠BCE=∠ACE∵CG为∠ACD平分线∴∠DCG=∠FCG∵EG∥BC

∴∠FEC=∠BCE,∠FGC=∠GCD

从而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG

∴EF=FC,FC=FG从而EF=FG

第23页

五回顾与小结第24页定理角平分线上点到这个角两边距离相等.∵OC是∠AOB平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上点到这个角两边距离相等).CB1A2PDEO第25页逆定理在一个角内部,且到角两边距离相等点,在这个角平分线上.∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB平分线上.(在一个角内部,且