高数下第十章课件10 6差分方程基本概念

§10.6

差分方程的基本概念一、差分概念二、差分方程三、差分方程的解一阶差分的差分,即

2

yn

(

yn

)

yn

1

yn

yn

2

2

yn

1

yn离散型数学模型研究的对象是定义在整数集上的函数,一般记为

yn

f

(n),

n

0

,

1,

2,

.函数

yn

f

(n)

在

n

时刻的一阶差分定义为

yn

yn

1

yn

f

(n

1)

f

(n)函数

yn

f

(n)

在

n

时刻的二阶差分定义为一、差分概念解例1

设

yn

n

3n

,

求

y

,

y

.2

2n

n

yn

(n

1)2

3(n

1)

(n2

3n)

2n

2.

2

y

(

y

)

2(n

1)

2

(2n

2)

2.n

n差分的四则运算法则

(Cyn

)

C

yn

(C为常数)

(

yn

zn

)

yn

zn

3

yn

zn

yn

1

zn

zn

yn

yn

zn

zn

1

yn

4

n

n

1n

n

1

n

z

zzn

1

yn

yn

1

znz

zzn

yn

yn

znz

yn

参照导数的四则运算法则学习将二阶差分的差分定义为三阶差分

,

即

3

y

2

y

2

y

y

2

y

yn

n

1

n

n

2

n

1

n一般地,

yn

3

3

yn

2

3

yn

1

ynk

阶差分定义为

k

y

(

k

1

y

)

k

1y

k

1yn

n

n

1

nC,

k

1,

2,

n

k

ii

0i

ykk

(

1)i.Cikk!i!(k

i)!

其中P409定义3含有未知函数的差分或含有未知函数两个或两个以上函数值yn

,yn

1

,

的函数方程,称为(常)差分方程.出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶.k

阶差分方程的一般形式为其中至少

k

y

要在式中出现,

或y

和

y

一定要出现.n

n n

k二、差分方程(1)(2)F

(

n,

yn

,

yn

,

,

y

)

0kn或

F

(

n,

yn

,

yn

1

,

,

yn

k

)

0

2

y

y

0,n

n

2

y

n

.nyn

3

3

yn

1

n

1,2yn

4

2

yn

2

4n

.n

2

y

n2

y

5,n

n

2

y

2

y

y

0,n

n

n均为二阶差分方程，而由定义（2）

,yn

2

yn

1

yn

2,yn

2

2

yn

1

yn

0,也同为二阶差分方程，关于差分定义的说明：根据定义（1）,n

1yn

2

,而关系式

2

y

y

2

y

y

,n

n

2

n

1

n按定义都不是差分方程.注意差分方程的两个定义不是完全等价的.方程

2y

y

0

,

按定义(1)

,

为二阶差分方程,n

n若改写为

2

y

y

y

2

y

y

yn

n

n

2

n

1

n

n

yn

2

2

yn

1

0,按定义(2),则应为一阶差分方程.√例

2

下列等式是差分方程的有(

).A.2

yn

yn

n

B.

3

yn

3

yn

anC

.

2

yn

yn

2

2

yn

1

ynD.

yn

2

yn

1

3

yn

2

4解由差分方程的定义有：A,D是差分方程.B的左端

3

yn

3(

yn

1

yn

)

3

yn

1

3

yn，则等式实为

3

yn

1

a

n，仅含一个时期的函数值yn

1，故不是差分方程

.而C的左端

2

yn

(

yn

1

yn

)

yn

1

yn

yn

2

2

yn

1

yn，恰好等于右端，故不是差分方程.(2)

yn

2

yn

4

yn

2例3确定下列方程的阶(1)

yn

3

n2

yn

1

3

yn

2解

n

3

n

3，

(1)是三阶差分方程；

n

2

(n

4)

6，

(2)是六阶差分方程.而通解中给任意常数以确定值的解,称为方程的特解.(2)如果将已知函数yn

(n)代入方程(2)定义4使其对n

0,1,2,

成为恒等式,则称yn

(n)为方程(2)的解.如果方程(2)的解中含有k个独立的任意常数,则称这样的解为方程(2)的通解,3是否为差分方程的通解,

并求满足条件

y0

5

的特解.

C

3n

n

3nn例4

设差分方程

yn

1

3

yn

3 ,

验证

yn解n将

y

C

3n

n

3n

代入方程

nn

3n33(n

1)3

3

C

3

13n

1n

1左边

C

3

3n

右边所以3ny

C

3n

n

3n

是方程的解,且含有任意常数C

,故为方程的通解.将

y0

5

代入得

C

5,于是所求特解为3y

5

3n

1

n3n

.(2)yn

k

a1yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

0称之为k

阶齐次常系数线性差分方程.三、常系数差分方程解的结构的差分方程,称为k

阶常系数线性差分方程,其中f

(n)

为已知函数

,

且

ak

0

.如果f

(n)不恒等于零,则(1)又称为k

阶非齐次线性差分方程,如果

f

(n)

0

,

则(1)

变为形如yn

k

a1yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f

(n)

1

有时也称(2)为(1)的对应齐次方程.例如，方程

nyn

3

3

yn

1

n2

1是二阶非齐次线性差分方程(非常系数),方程

nyn

3

3

yn

1

0

是对应的齐次方程

.定理1如果函数y1

(n),y2

(n),

,ym

(n)均为k

阶齐次线性差分方程(2)的解,则

y(n)

C1

y1

(n)

C2

y2

(n)

Cmym

(n)也是方程

(2)

的解,

其中C1

,

C2

,

,

Cm

是任意常数。定理2如果函数y1

(n),y2

(n),

,yk

(n)是k

阶齐次线性差分方程的k

个线性无关的特解,则

Yn

C1

y1

(n)

C2

y2

(n)

Ck

yk

(n)是方程(2)

的通解,

其中C1

,

C2

,

,

Ck

是任意常数。n的一个特解,

Yn

是对应齐次方程

(2)

的通解,定理41

2如果

y

,

y

分别是非齐次差分方程yn

kyn

k

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f1

(n)

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f2

(n)定理3

如果

y*

是

k

阶非齐次差分方程

(1)n则

yn

Yn

y*是方程(1)

的通解.的特解.yn

k的两个特解,

则

y*

y

y

是方程1

2

a1

yn

k

1

ak

1

yn

1

ak

yn

f1

(n)

f2

(n)练习题

2

y

x

1

y

x

,

y

x

2C、yx

2

y

x

1

3

y

x

2

4,

D、yx

3

.x4、函数y

A

2

x

8是差分方程（）的通解

．A、yx

2

3

y

x

1

2

y

x

0,

B、yx

3

y

x

1

2

y

x

2

0,C、yx

1

2

y

x

8,

D、yx

2

2

y

x

8

.A、

3

y

x

3

y

x

a

,

B、Δ

yx

2x1、设y

a

x，求Δ

y

.x2、设y

x

2

2

x，求Δ2

y.3、下列等式是差分方程的有（）VxVx

1Vx(2)Δ