线性代数四川人民出版社课件

经济数学基础线性代数经济数学基础线性代数第

三章行列式

n阶行列式行列式的性质行列式的行(列)展开

Gramer法则难点:行列式的展开、Gramer法则重点:行列式的性质、行列式的展开（计算）第三章行列式n阶行列式§3.1n阶行列式一、行列式的引入两式相减消去,得§3.1n阶行列式一、行列式的引入两式相减当时,方程组的解为类似地消去,得称为二阶行列式,记为定义1

由四个数排成的数表所确定的表达式当则二元线性方程组的解为若记即主对角线法则则二元线性方程组的解为若记即主对角线法则例1解二元线性方程组解:例1解二元线性方程组解:定义2由三行三列的数表所确定的表达式称为三阶行列式,记注意:

1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。定义2由三行三列的数表所确定的表达式称为三阶注意:如果三元线性方程组系数行列式

2)三阶行列式包括3!项,且每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积,其中正负各三项。则方程组的解为:如果三元线性方程组系数行列式2)三阶行列式包括3!项例2求解方程解:

方程左端的行列式,由对角线法则即,解得例2求解方程解:方程左端的行列式,由对角线法则即例3解线性方程组解:由于方程组的系数行列式例3解线性方程组解:由于方程组的系数行列式同理可得方程组的解为:即同理可得方程组的解为:即二、排列及逆序数定义3将n个不同的元素组成一个有序数组,称为这n个元素的一个n级排列。n级排列的总数:定义4

在n级排列中,规定由小到大为一个标准次序,若两个元素与标准次序不同则构成一个逆序。排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。二、排列及逆序数定义3将n个不同的元素组成一个有序数逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。例4

求排列32514的逆序数。解:

在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;32514排列32514的逆序数5的前面没有比5大的数,其逆序数为0……逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。解:由于当时,原排列为偶排列;当时,原排列为奇排列。例5求排列n(n-1)…321的逆序数,并讨论奇偶性。解:由于当将相邻两个元素对换,称为相邻对换。定理1任意一个排列中的任意两个元素经过一次对换,排列改变奇偶性。证明:相邻对换任意对换;比较对换元素讨论。定义5

在排列中,将任意两个元素位置互换,其余元素位置不变,这种变换称为对换。注意:1)

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数;2)偶排列调成标准排列的对换次数为偶数;3)标准排列是偶排列(逆序数为0)。将相邻两个元素对换,称为相邻对换。定理1任意一个排列中三、n阶行列式说明:2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,且每项不重复的取遍所有行和列;3)每项的正负号都取决于三个元素的下标排列。1)三阶行列式共有6项,即项;三、n阶行列式说明:2)每项都是位于不同行不同列的三个元定义6

n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n

个数的乘积的代数和,即其中为自然数1,2,…n的一个排列,为其逆序数。简记为或。定义6n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n行列式是一种特定的算式:解线性方程组;3)每项都是位于不同行不同列n个元素的乘积;说明:2)n阶行列式是项的代数和;4)一阶行列式,不同于绝对值;5)行标确定:的符号为例6确定下列行列式中的项的符号。解:行列式是一种特定的算式:解线性方程组;3)每项都是位于不所以不为零的项只有例7

计算

上三角行列式解:所以不为零的项只有例7计算上三角行列式解:例8

证明对角行列式若记,则依行列式定义证:例8证明对角行列式若记求的系数。含的项有两项之和,即例9

已知解:故的系数为-

1。求的系数。含的项有两项之和,即例9推论1若列标确定,行列式等于定理2

n阶行列式也可定义为推论2行列式定义中每一项的乘积元素可按行或列标确定标进行重排:不改变符号。推论1若列标确定,行列式等于定理2n阶行列式§1.2行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等。记行列式称为行列式的转置行列式。证明:记§1.2行列式的性质性质1行列式与它的注意:

行列式中行与列具有同等的地位,即行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。则即性质2

互换行列式的两行(列),行列式的值反号。证明:设互换的i,j行,得注意:行列式中行与列具有同等的地位,即行列式的则即性质2即则推论

如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式的值为零。即则推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以数k,等于用数k乘此行列式。推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2若行列式含有零行(列),则行列式的值为零。性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以性质4

行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式的值为零。性质5

行列式按某列（行）的元素拆开:性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例,则性质5性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。注意:性质6为行列式的简化求值的常用方法。性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一注意例1

计算解:例1计算解:例2

计算解:行列式计算方法:

1)利用定义;2)利用性质和三角形行列式;3)行列式的展开。例2计算解:行列式计算方法:1)利用定义;2)利例3

计算解:此行列式的特征:行和相等。?讨论a=0,a=b?例3计算解:此行列式的特征:行和相等。?讨论a=将大部分元素化为零将大部分元素化为零例4

计算解:此行列式的特征:大部分元素为1。例4计算解:此行列式的特征:大部分元素为1。线性代数四川人民出版社课件§1.3行列式的展开定义7在n阶行列式中,划去元素所在的第i行和第j列,余下的n–1阶行列式称为元素的余子式,记。称为元素的代数余子式。例1

求下列行列式的代数余子式。§1.3行列式的展开定义7在n阶行引理

如果行列式第i行所有元素除外都为零,则此行列式等于与其代数余子式的乘积,即注意:行列式的展开方法:利用行列式的性质在某行(列)得到尽可能多的零元:降阶求值。引理如果行列式第i行所有元素除外都为零,证:定理3n行阶列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或证:定理3n行阶列式等于它的任一行（列）的各元素与或线性代数四川人民出版社课件例2计算解:评注:

“化零”方法:尽量选含有0,1较多的行(列)。例2计算解:评注:“化零”方法:尽量选含有0,例3

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证:由数学归纳法即当n=2时,原式成立。例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式设当k=n

-1时,原式成立。设当k=n-1时,原式成立。推论

行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证:将换成:两行相同。推论行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代证:将代数余子式的重要性质同理代数余子式的重要性质同理§1.4Cramer法则设线性方程组若常数项不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项全为零,称方程组为齐次线性方程组。§1.4Cramer法则设线性方程组若若线性方程组的系数行列式不等于零,即则线性方程组有唯一解:若线性方程组的系数行列式不等于零,即则线性方程组有唯一解:证明:设为系数行列式D的代数余子式,则将n个方程依次相加,得证明:设即由于原方程组与变形后的方程组等价(代数余子式数乘),则为原方程组的唯一解。定理4(Cramer法则)如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的。当时,方程组有唯一解:即由于原方程组与变形后的方程组等价(代数余子式数乘)定理5

如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。定理6

如果齐次线性方程组的系数行列式,则齐次线性方程组仅有零解(没有非零解)。推论

如果齐次线性方程组有非零解,则系数行列式。Cramer

法则解方程组的条件:1)方程个数等于未知量个数;2)系数行列式不等于零。适用于理论推导定理5如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它定理6例1

解方程组解:例1解方程组解:即同理由Cramer法则,得即同理由Cramer法则,得解:当D=0,即或,