新教材北师大版数学学案第2章55-2向量数量积的坐标表示5-3利用数量积计算长度与角度

5．2向量数量积的坐标表示5．3利用数量积计算长度与角度学习任务核心素养1．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(重点)2．能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系．(难点)通过平面向量数量积的应用，培养数学运算与逻辑推理素养．“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望…”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？阅读教材，回答下列问题．问题1：平面向量的数量积(内积)的定义是什么？问题2：向量a与b垂直的条件是什么？问题3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何计算a与b的数量积？知识点1平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(2)模、夹角、垂直的坐标表示：1.已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，则a·b的值是()A．34B．27C．－43D．－6D[a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－6.]知识点2平面直角坐标系中两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))的起点和终点的坐标分别是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，那么a＝(x2－x1，y2－y1).则|a|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up8(2)).如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中，两点间的距离公式？[提示]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up8(2)).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若两非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则θ一定是钝角． ()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). ()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ()[答案](1)×(2)√(3)√类型1平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ).∵a·b＝10，∴eq\r(5)λ·eq\r(5)cos0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4).(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.数量积的坐标运算方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).[解](1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5.类型2向量的夹角【例2】已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°；(2)a与b的夹角为锐角．由向量的夹角公式，可转化判定a·b的符号．[解](1)a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).(2)∵a与b的夹角为锐角，∴a·b>0且a与b不同向．因此1＋2λ>0，∴λ>－eq\f(1,2).又∵a与b共线且同向时，λ＝2.∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞).若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围？[解]∵a与b的夹角θ为钝角，∴cosθ<0且cosθ≠－1，∴a·b<0且a与b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，所以λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).利用数量积求两向量夹角的步骤eq\a\vs4\al([跟进训练])2．设向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，1)，则向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))的夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)B[cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(OB,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))||\o(OB,\s\up8(→))|)＝eq\f(1×1＋0×1,\r(1)·\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，∴θ＝eq\f(π,4).]类型3向量的模【例3】设平面向量a＝(1，1)，b＝(0，2).求a－2b的坐标和模的大小．[解]∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴a－2b＝(1，1)－2(0，2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝eq\r(12＋（－3）2)＝eq\r(10).1．在本例条件不变的情况下，若c＝3a－(a·b)b，求|c[解]∵a·b＝x1x2＋y1y2＝2，∴c＝3(1，1)－2(0，2)＝(3，－1)，∴|c|＝eq\r(32＋（－1）2)＝eq\r(10).2．在本例条件不变的情况下，若ka－b与a＋b共线，求k的值．[解]∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2).a＋b＝(1，1)＋(0，2)＝(1，3).∵ka－b与a＋b共线，∴eq\f(k－2,k)＝3，∴k＝－1.3．在本例条件不变的情况下，若|ka－b|＝eq\r(10)，求k的值．[解]∵ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2)，且|ka－b|＝eq\r(10).∴eq\r(k2＋（k－2）2)＝eq\r(10)，解得k＝3或kk＝3或k＝－1时满足条件．1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)求解．2.形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：其一，先化简再代入，即展开转化为a2，a·b，b2的坐标运算；其二，先代入再化简，即先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算．，尤其是在解决与平行，垂直，线段的长，角的大小有关的问题时，有非常重要的应用．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．在△ABC，AB＝3，AC＝5，∠A＝120°，求其中线AD的长．[解]依题意，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，所以eq\o(AD,\s\up8(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))2)，所以|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,4)(|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠A＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2)＝eq\f(1,4)(32＋2×3×5×cos120°＋52)＝eq\f(19,4)，所以|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(19),2).即中线AD的长为eq\f(\r(19),2).1．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1B[因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]2．(多选题)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则()A．|a＋b|＝2 B．a与b垂直C．a与a－b的夹角为eq\f(π,4) D．|a－b|＝1BC[由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝eq\r(2)，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝eq\r(2)，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·（a－b）,|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,1×\r(2))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为eq\f(π,4)，所以C选项正确．故选BC.]3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4eq\r(5)，则b＝________．(－4，8)[由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4，84．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，则(－4，－10)或(－4，－6)[∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6).]5．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5).(1)|a＋2b|＝________；(2)若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，则向量a与c的夹角为________．(1)3eq\r(5)(2)eq\f(2π,3)[(1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝eq\r(（－3）2＋（－6）2)＝3eq\r(5).(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝eq\f(5,2).∴a·c＝－eq\f(5,2).又|a|＝eq\r(5)，|c|＝eq\r(5)，∴cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－\f(5,2),|\r(5)||\r(5)|)＝－eq\f(1,2)，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝eq\f(2π,3).∴向量a与c的夹角为eq\f(2π,3).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.平面向量数量积的两种不同运算形式的作用是什么？[提示]平面