圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用_第1页
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切点弦方程第3页共6页圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用作者:吴时清薛青丽联系方式间:2013.6.17切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用.一、切点弦方程的概念平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.二、圆的切点弦方程证明:设圆外一点,过点作圆的的两条切线,切点是,则直线的方程是:.证明:由平面几何知识易知,弦是圆与以为直径端点的圆的相交弦.以为直径端点的圆的方程是:,即……①又…………………②②-①得:.三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程设是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程如下表:方程曲线标准方程切点弦方程椭圆双曲线抛物线四、二次曲线的切点弦方程设从点引曲线的两条切线,切点为,则过的且线方程分别是:,因为点在上述两条切线上,所以满足方程所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.【例2】2008年江西高考数学理设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.⑴过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线的方程;⑵求证:三点共线.解:⑴设,∵垂直于直线,则∴,点坐标为设的重心为,则代入双曲线方程并整理得:,∴重心的轨迹方程为⑵设点,方程对求导得:∴∴切线的斜率为,方程为,又∴切线的方程为同理:切线的方程为,又在,上,∴即点都在直线上,又也在直线上∴三点共线.【例2】2013年广东高考理20题已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．解:（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为，由结合，解得．所以抛物线的方程为．（Ⅱ）抛物线的方程为，即，求导得设，（其中），则切线的斜率分别为，，所以切线的方程为，即，即同理可得切线的方程为因为切线均过点，所以，所以为方程的两组解．所以直线的方程为．（Ⅲ）由抛物线定义可知，，所以联立方

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