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八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形证实

学习新知检测反馈1等腰三角形（第3课时）第1页学习新知问题思索独立思索后再进行交流.【问题1】

等腰三角形性质定理内容是什么?这个命题条件和结论分别是什么?【问题2】

我们是怎样证实上述定理?【问题3】

我们把性质定理条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,假如两个角相等,那么这两个角所正确边也相等,对吗?第2页证实:有两个角相等三角形是等腰三角形.已知:如图所表示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.证实1:作AD⊥BC于点D.(如图所表示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BDA=∠CDA,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形对应边相等).

证实2：作△ABC顶角平分线AD交BC于点D.(如图所表示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形对应边相等).定理:有两个角相等三角形是等腰三角形.这一定理能够简述为:等角对等边.几何语言:在△ABC中，∵∠B=∠C(已知)，∴AB=AC(等角对等边).第3页例2

已知:如图所表示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E,求证△AED是等腰三角形.证实:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.第4页反证法如图所表示，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么依据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，所以AB≠AC.证实时,先假设命题结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已经有定理或已知条件相矛盾结果,从而证实命题结论一定成立.这种证实方法称为反证法.第5页例3

用反证法证实:一个三角形中不能有两个角是直角.已知:△ABC.求证:∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证实:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理矛盾,所以“∠A和∠B是直角”假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.[知识拓展]

等腰三角形判定定理和性质定理是互逆,解相关等腰三角形问题时,等腰三角形底边上高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑线段.第6页1.已知:如图所表示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD等于 (

)A.3cm

B.4cm C.1.5cm

D.2cmA2.(·西安中考)如图所表示,在△ABC中,∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有 (

)A.2个 B.3个

C.4个 D.5个D解析:∵△ABC为等腰三角形,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC角平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴△ABD为等腰三角形,△BCD为等腰三角形.可得BE=BC=BD,∴△BDE为等腰三角形.∵∠AED=108°,∴∠EAD=∠EDA=36°,∴△AED为等腰三角形.故选D.检测反馈第7页3.如图所表示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么以下结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE周长等于AB与AC和;④BF=CF.其中正确有 (

)A.①②③ B.①②③④C.①② D.①解析:可证实△BDF,△CEF都是等腰三角形,得①②③正确.故选A.A4.用反证法证实命题“一个三角形三个外角中,至多有一个锐角”第一步是

.

假设三角形三个外角中,有两个锐角第8页解析:依据等腰三角形性质可知AB=AC.故填AB=AC.5.已知AD是△ABC外角∠EAC平分线,要使AD∥BC,则△ABC边一定满足

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AB=AC解析:可证△ADE是等腰三角形,∴AD=AE=2cm.6.在△ABC中,∠C=∠B,D,E分别是AB,AC上点,AE=2cm,且DE∥BC,则AD=

.

2cm第9页7.如图所表示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.证实:连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.8.如图所表示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形