离散型随机变量的方差

人教A版选修2—3精讲细练离散型随机变量的方差一、知识精讲1.离散型随机变量的方差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)=为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程程度；方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)性质：设a，b为常数，则D(aX＋b)＝(4)求解步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③利用定义求出随机变量的方差.2．两点分布、二项分布的方差(1)若随机变量X服从两点分布,则D(X)=p（1-p）(2)若X~B(n,p),则E(X)=np（1-p）二、典例细练【题型一】：求离散型随机变量的方差例题1（1）：已知随机变量ξ的分布列为ξ01xPeq\f(1,2)eq\f(1,3)p若E(ξ)＝eq\f(2,3).(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求eq\r(Dη)的值．【解析】由eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋p＝1，得p＝eq\f(1,6)，又E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)x＝eq\f(2,3)，∴x＝2∴(1)D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(15,27)＝eq\f(5,9).(2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)，∴eq\r(Dη)＝eq\r(9Dξ)＝eq\r(5).【点评】求离散型随机变量的方差的步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③利用定义求出随机变量的方差.例题1（2）：有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【解析】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，则P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列为ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝.D(ξ)＝(6－2×eq\f(7,15)＋(9－2×eq\f(7,15)＋(12－2×eq\f(1,15)＝.【点评】求离散型随机变量的方差的步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③利用定义求出随机变量的方差.变式训练1：例1设随机变量的分布列为：求2【解析】由于，故依方差的定义，有变式训练2：已知η的分布列为：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【解析】(1)∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，D(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(D(η))＝8eq\r(6).(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.【题型二】：两点分布、二项分布的方差例题2：一射手命中目标的概率为。现向一目标射击8次，求击中次数的期望和方差。【解析】服从的二项分布，，。变式训练1：已知随机变量ξ～B(100,，那么D(4ξ＋3)的值为()A．64 B．256C．259 D．320【解析】选B.由ξ～B(100,知随机变量ξ服从二项分布，且n＝100，p＝，由公式得D(ξ)＝np(1－p)＝100××＝16，因此D(4ξ＋3)＝42D(ξ)＝16×16＝256.故选B.变式训练2：已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，则n，p的值分别为()A．100, B．20,C．10, D．10,【解析】选C.由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝2,np(1－p)＝)，解得p＝，n＝10.【题型三】：用方差处理实际问题例题3（1）：有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X8090100概率P乙：分数Y8090100概率P试分析两名学生的成绩水平．【解析】∵E(X)＝80×＋90×＋100×＝90，D(X)＝(80－90)2×＋(90－90)2×＋(100－90)2×＝40，E(Y)＝80×＋90×＋100×＝90，D(Y)＝(80－90)2×＋(90－90)2×＋(100－90)2×＝80，∴E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．例题3（2）：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【解析】根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1200×＋1400×＋1600×＋1800×＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×＋(1400－1400)2×＋(1600－1400)2×＋(1800－1400)2×＝40000；E(X2)＝1000×＋1400×＋1800×＋2200×＝1400；D(X2)＝(1000－1400)2×＋(1400－1400)2×＋(1800－1400)2×＋(2200－1400)2×＝160000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.【点评】均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．变式训练1：购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的均值不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费．(单位：元)【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则eq\x\to(A)发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104.又P(A)＝1－，故p＝.(2)该险种总收入为10000a支出为10000ξ＋50000，盈利为η＝10000a－(10000ξ盈利的均值为E(η)＝10000a－10000E(ξ由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝104×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ＝104a－104×104×10－3－5×10E(η)≥0⇔104a－104×10－5×10⇔a－10－5≥0⇔a≥15.故每位投保人应交纳的最低保险费为15元．变式训练2：农科所培养出良种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种植10亩。收获情况如下:A品种亩产量(kg)750780800840880亩数2B品种亩产量(k